新高考数学二轮专题《立体几何》第16讲 立体几何作图问题（2份打包，解析版+原卷版）

第16讲 立体几何作图问题

一．解答题（共15小题）

1．如图，三棱柱的各棱长均相等，底面，，分别为棱，的中点．

（1）过作平面，使得直线平面，若平面与直线交于点，指出点所在的位置，并说明理由；

（2）求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）如图所示，平面即为平面，点为线段的中点．（2分）

理由如下：

因为直线平面，平面平面，直线平面，

所以直线直线，又直线，

所以四边形是平行四边形，则，

即点为的中点．（4分）

（2）如图，取的中点，由题意，，两两互相垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系如图所示．

不妨设棱长为2，则，1，，，2，，

则，，

设面的法向量，，，

则由得

令，得．

取平面的一个法向量，0，，

于是．

所以二面角的余弦值为．（12分）

2．如图，三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点．

（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；

（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（1）取中点，连接，则，

连接，取中点，连接，则，

，即，，，四点共面，

连接交于，连接，则，，，四点共面，

过作交于，即为所求．

（2）作平面，与延长线交于，则，，

，，

，，

，

，

，

作，则直线与平面所成角直线与平面所成角，

，，

设到平面的距离为，则，，

直线与平面所成角的正弦值．

3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；

（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值．

【解答】证明：（1），，，

平面，平面，，

，平面，

平面，

平面平面．

解：（2）作于点，

在中，，，

平面，

设，，，

则，

，

由，得，解得，

，故为的中点．

（3）连结，，与交于点，连结，

由（2）知平面，，

为正方形，，

，

平面，，

是二面角的平面角，

平面，平面平面，

二面角与二面角互余，

设二面角的平面角为，

则，

在中，，，，

，

二面角的余弦值为．

4．如图，在多面体中，四边形为矩形，，均为等边三角形，，．

（1）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；

（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（1）当为的中点时，平面．

证明：连结交于，连结．

四边形是矩形，是的中点，

是的中点，

，又平面，平面，

平面．

（2）过作平面，垂足为，过作轴，作轴于，则为的中点．

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，．

，，，，，，，，，，0，，，，．

，2，，，，，，，．

设平面的法向量为，，，则，

，令得，0，，

，，．

，．

直线与平面所成角的正弦值为，．

5．如图，三棱柱中，四边形为菱形，，，，平面平面，在线段上移动，为棱的中点．

（1）若为线段的中点，为中点，延长交于，求证：平面；

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离．

【解答】证明：（1）如图，取中点，连接，，

为中点，，

在平行四边形中，，分别为，的中点，

，

又，，

平面平面，

平面，平面．

解：（2）连接，，

四边形为菱形，

又，△为正三角形

为的中点，

平面平面，

平面平面，

平面，

平面，

在平面内过点作交于点

建立如图所示的空间直角坐标系，

，

设，

，

，，，

设平面的法向量为，

则得，令，则，

平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，二面角的平面角为，

则，

或（舍，，．

又，，

，

连接，设点到平面的距离为，则

，即点到平面的距离为．

6．如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若与底面所成角为，求二面角的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）连接交于点，连接．

因为平面，平面，平面平面，

所以．（2分）

又因为四边形为平行四边形，

所以为的中点，所以为△的中位线，所以为的中点．

又因为为等边三角形，所以．（4分）

解：（Ⅱ）过作平面垂足为，连接，设．

因为与底面所成角为，所以．

在△中，因为，

所以，．

因为平面，平面，

所以．

又因为四边形为矩形，所以，

因为，所以．

因为，平面，平面，所以平面．

因为平面，所以．又因为，所以为的中点．（7分）

以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．

则，，，，，0，，，1，．

因为，

所以，，

因为，

所以，，，，．（8分）

设平面的法向量为，，，

由得

令，得，所以平面的一个法向量为．

设平面的法向量为，，，

由得

令，得，，所以平面的一个法向量为．（10分）

所以，

因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．（12分）

7．如图，四棱锥中，底面为梯形，，．是的中点，底面．在平面上的正投影为点，延长交于点．

（1）求证：为中点；

（2）若，，在棱上确定一点，使得平面，并求出与面所成角的正弦值．

【解答】解：（1）连接，，是的中点，．，

，四边形是平行四边形．．

底面．平面，．

在平面上的正投影为点，面．．

又，面，．

又，为中点．

（2），，，

底面，故以为原点建立空间直角坐标系，如图．

，0，，，0，，，1，，，0，，

，，

为的外心，，是的重心．．

设，，．

又是平面的法向量，且面．

，，解得．．

设是面的法向量．，

，可取．

．

与面所成角的正弦值为．

8．四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，且平面，，点，分别是线段，上的中点，在上，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；

（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．

【解答】证明：（Ⅰ）在中，

点，分别是线段，上的中点，

，

平面，平面，

平面．

解：（Ⅱ）底面是边长为2的菱形，

，

平面，，，

如图，以为原点，、、分别为，，轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，

，，，

设平面的法向量为，，，

则，令，得，

，，

直线与平面的成角的正弦值为．

（Ⅲ）法1：延长，分别交，延长线于，，连接，发现刚好过点，

连接，，

则四边形为平面与四棱锥的表面的交线．

法2：记平面与直线的交点为，设，

则

由，解得．

所以即为点．

所以连接，，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线．

9．在等腰直角中，，分别为，的中点，，将沿折起，使得二面角为．

（1）作出平面和平面的交线，并说明理由；

（2）二面角的余弦值．

【解答】解：（1）在面内过点作的平行线即为所求．

证明：因为，而在面外，在面内，所以，面．

同理，面，于是在面上，从而即为平面和平面的交线．

（2）由题意可得为二面角的平面角，所以，．

过点作的垂线，垂足为，则面．

以为原点，所在直线为轴正方向，垂直 的直线为轴，所在直线为轴，

为单位长度建立空间直角坐标系；如图：

则，0，，，4，，，0，，，2，，，

从而，，

设面的一个法向量为，

则由得，所以，不妨取．

由面知平面的法向量不妨设为

于是，，

所以二面角的余弦值为．

10．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，平面平面，且与棱，，分别交于，，三点．

（1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；

（2）若将三棱锥分成体积之比为的两部分（其中，四面体的体积更小），为线段的中点，求四棱锥的体积．

【解答】解：（1）作法：取的中点，连结，则直线即为要求的直线．

证明如下：

，，，

平面，

平面平面，平面平面，平面平面，

，平面，

又平面，．

又，是的中点，

．

直线为要求的直线．

（2）平面将三棱锥分成体积之比为的两部分，

，

平面平面，

，又，

．

，

到平面的距离，

是的中点，到平面的距离，

四棱锥的体积．

11．如图，在三棱锥中，，．两两垂直，，平面平面，且与棱．．分别交于，，三点．

（1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；

（2）若将三棱锥分成体积之比为的两部分（其中，四面体的体积更小），为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（1）作法：取的中点，连结，则直线即为要求作的直线．

证明如下：

，，且，平面，

平面平面，且平面，

平面平面，

，

平面，，

又，为的中点，则，

从而直线即为要求作的直线．

（2）将三棱锥分成体积之比为的两部分，

四面体的体积与三棱锥的体积之比为，

又平面平面，，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角系，设，

则，1，，，1，，，0，，，1，，，2，，

，0，，，1，，，1，，

设平面的法向量为，，，

则，取，得，3，，

则，．

直线与平面所成角的正弦值为．

12．如图，在三棱柱中，，，．

（Ⅰ）证明：点在底面上的射影必在直线上；

（Ⅱ）若二面角的大小为，，求与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：因为，，，

所以平面．                                         （2分）

所以平面平面．                                    （4分）

过点作，则由面面垂直的性质定理可知平面．

又平面，所以与重合，

所以点在底面上的射影必在直线上．                （6分）

（Ⅱ）是二面角的平面角，即．   （8分）

法一：连接，，，．

平面，平面平面．              （10分）

   过作，则平面．

是直线与平面所成角．（12分）

，，．

又，．                       （15分）

法二：在平面内过点作，以，，为，，轴建系．

则，（8分）

  所以．（10分）

由

可以求得

平面的法向量．  （12分）

所以．        （15分）

13．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点．

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．

【解答】（1）证明：底面，平面，

，由于底面为长方形，

，而，

平面，

平面，

，

，为中点，

，

，

平面，

，

又，，

平面；

（2）解：由题意易知、、两两垂直，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，

可得，0，，，0，，，1，．

设，则有，

．

，1，，，，，，

设平面的法向量，

由，令，则．

由（1）平面，

为平面的法向量，

设二面角为，则．

故．

二面角的正弦值为．

14．在如图所示的几何体中，，平面，，，，．

（1）证明：平面；

（2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积．

【解答】证明：（1）在中，．

所以，

所以为直角三角形，．

又因为平面，所以．

而，所以平面．

解：（2）取的中点，的中点，连接，，，

平面即为所求．

理由如下：

因为，，所以四边形为平行四边形，

所以，从而平面，

同理可证平面．

因为，所以平面平面．

由（1）可知，平面，平面．

因为，

，

所以，夹在该截面与平面之间的几何体的体积：

．

15．如图，在四棱锥中，，，，．

（1）求证：；

（2）若，，为的中点．

过点作一直线与平行，在图中画出直线并说明理由；

求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．

【解答】证明：（1）取中点，连接，（1分）

，为中点，，

又，为中点，，

又，面，（3分）

又面，．（4分）

（2）取中点，连接，，则，即为所作直线．（5分）

理由如下：在中、分别为、中点，

，且，

又，，

且，四边形为平行四边形．（6分）

．（7分）

，，，面，（8分）

又在中，，，

，

又，面（9分）

方法一：，（10分）

，（11分）

．（12分）

方法二：在中，为中位线，，（10分）

，（11分）

．（12分）

方法三：，，（11分）

．．（12分）

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日期：2021/4/3 11:04:58；用户：程长月；邮箱：hngsgz031@xyh.com；学号：25355879