新高考数学二轮专题《平面向量》第1讲 平面向量基本概念和基本定理（2份打包，解析版+原卷版）

第1讲 平面向量基本概念和基本定理

题型1 平面向量的线性运算

1．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】解：与的夹角为，与的夹角为，且；

对两边平方得：①；

对两边同乘得：，两边平方得：②；

①②得：；

根据图象知，，，代入得，；

．

故选：．

2．已知向量满足，若为的中点，并且，则的最大值是　　

A． B． C． D．

【解析】解：如图所示，

向量满足，，

不妨取，．

为的中点，

．

，，，．

，

，

设，，，．

则，当时取等号．

的最大值是．

故选：．

3．在中，，．若点满足　　

A． B． C． D．

【解析】解：由题意可得

故选：．

4．已知，是两个单位向量，且．若点在内，且，，则　　

A． B．3 C． D．

【解析】解：因为，是两个单位向量，且．所以，故可建立直角坐标系如图所示．

则，，故，，，，又点在内，

所以点的坐标为，在直角三角形中，由正切函数的定义可知，，所以，

故选：．

5．在中，为边上任意一点，为中点，，则的值为　　

A． B． C． D．1

【解析】解：设

则

，

故选：．

6．点是的边上任意一点，在线段上，且，若，则的面积与的面积的比值是　　

A． B． C． D．

【解析】解：如图，

设，，

，

，且，

，则．

，则，

又与的底边相等，

的面积与的面积的比值是．

故选：．

7．中，为边上任意一点，为线段上一点，且，又，则的值为　　

A． B． C． D．1

【解析】解：设，，

，

又，

所以

故选：．

8．在中，点满足，则　　．

【解析】解：点满足，

，

又，

，

．

又，

，．

．

故答案为：．

9．如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为　　．

【解析】解：以为原点，以所在的为轴，建立坐标系，设正方形的边长为1，

则，，，，，．

设，．

再由向量，，，，，

，，

．

由题意得，，．

求得，

故在，上是增函数，故当时，即，这时取最小值为，

故答案为：．

10．如图，在中，为上不同于，的任意一点，点满足．若，则的最小值为　　．

【解析】解：不妨设，，

，

，

，，

，

当时，有最小值，最小值为，

故答案为：．

题型2 平行问题

1．已知，若与平行，则　　

A． B．1 C．2 D．3

【解析】解：，

，

当与平行时，，

解得．

故选：．

2．已知向量，则实数为　　

A． B．或 C．1 D．

【解析】解：由题意可得：，，，，

，，，

，，

解得

故选：．

3．已知向量，，若，则　30　．

【解析】解：向量，，且，

，即．

则，，．

故答案为：30．

4．已知向量，，若，则向量的模为　10　．

【解析】解：向量，，

若，则，

解得，，

向量的模为．

故答案为：10．

5．已知，，，则向量　或　．

【解析】解；设：，

，，

解得；或

等于或

故答案为或．

题型3 模长问题

1．设向量，满足，，则　　

A．1 B．2 C．3 D．5

【解析】解：，，

分别平方得，，

两式相减得，

即，

故选：．

2．若向量，满足，，，则　　

A．2 B． C．1 D．

【解析】解：向量，满足，，，

，

，．

故选：．

3．已知向量，的夹角为，且，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：因为向量，的夹角为，且，，

所以，即，

解得或（舍．

故选：．

4．已知向量与的夹角为，且，，则向量　1　．

【解析】解：根据题意得，

故答案为1．

5．已知向量，夹角为，且，，则　　．

【解析】解：根据题意，得；

．

故答案为：．

6．已知向量，则　5　．

【解析】解：向量，

又

即

即

即

故答案为：5

7．已知向量满足，，与的夹角为，则　　．

【解析】解：向量满足，，与的夹角为，

则．

故答案为：．

题型4 夹角问题

1．已知向量，，若向量，的夹角为，则实数　　

A． B． C．0 D．

【解析】解：由题意可得，

解得，

故选：．

2．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由已知非零向量，满足，且，可得，

设与的夹角为，则有，即，又因为，，所以，

故选：．

3．已知非零向量满足：，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由，

所以，

解得，且；

所以；

又，，

所以，

即与的夹角为．

故选：．

4．已知非零向量满足，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由于非零向量满足，

等号两边同时平方化简得：，

则夹角为，

故选：．

5．已知向量，，若，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【解析】解：根据题意，设与的夹角为，

向量，，

若，则有，解可得，

则，

则，

则有，，且，

则有，

则；

故选：．

6．在中，，，点为边上一点，且，则　　．

【解析】解：由题意可知为的靠近的三等分点，

，

．

故答案为：．

题型5 平面向量的坐标运算

1．已知，，若，则的值为　　

A．2 B． C．3 D．

【解析】解：，，

，，

可得：，

可得，．

故选：．

2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则　　

A．2 B．4 C． D．

【解析】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系

可得，，

，

，解之得且，

因此，则

故选：．

3．已知向量，，则　　

A． B．0 C．1 D．2

【解析】解：，，

故选：．

4．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：

点是的中点

故选：．

5．已知正方形的边长为2，为的中点，则　　

A． B．6 C．2 D．

【解析】解：根据题意，如图：以为坐标原点建立坐标系，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，

则，，，，

则，

则，，

则，

故选：．

6．已知向量，，若，，，则的值为　　．

【解析】解：向量，，若

可得，解得，，

．

故答案为：．

7．已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　．

【解析】解：以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，

是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，

，，，，，，

，，

，，，

设，

，

，

，

，，，

解得，，

，，

，，，

故答案为：．

题型6 投影问题

1．已知点，，，，则向量在方向上的投影为　　

A． B． C． D．

【解析】解：；

向量在方向上的投影为：．

故选：．

2．已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向的投影为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由知，为的中点，如图所示；

又为外接圆的圆心，半径为1，

为直径，且，，；

向量在向量方向的投影为．

故选：．

3．已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为　　

A．3 B． C． D．

【解析】解：的外接圆的圆心为，半径为2，且，，

为平行四边形．

的外接圆的圆心为，半径为2，得，

四边形是边长为2的菱形，且，

因此，，

向量在方向上的投影为：，

故选：．

4．已知向量，的夹角为，且，，则向量在方向上的投影等于　　

A． B． C． D．1

【解析】解：，，，

，解得或（舍去），

在方向上的投影等于．

故选：．

5．已知向量，，且向量满足，则向量在方向上的投影为　　

A． B． C．2或 D．2或

【解析】解：向量，，，

可得：，解得，，

当时，，

向量在方向上的投影为，

当时，，

向量在方向上的投影为，

故选：．

6．向量，满足，，，则在方向上的投影为　　

A． B． C． D．1

【解析】解：向量，满足，，，

可得，

所以，

则在方向上的投影为：．

故选：．

7．已知向量，向量在方向上的投影为，若，则实数的值为　　

A．3 B． C． D．

【解析】解：，在方向上的投影为，

，，

又，

，解得．

故选：．

8．若为单位向量，，则向量在向量方向上的投影为　　

A． B．1 C． D．

【解析】解：，

，，

在方向上的投影为：．

故选：．

9．已知非零向量，满足，，在方向上的投影为1，则　36　．

【解析】解：设，的夹角为，则在方向上的投影为，

，

，，

，解得：，，

．

故答案为：36．

10．已知边长为的等边中，则向量在向量方向上的投影为　　．

【解析】解：根据题意，，

在方向上的投影为：．

故答案为：．

11．已知向量，且，则向量在向量的方向上的投影为　2　．

【解析】解：，

在的方向上的投影为．

故答案为：2．

12．若两单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影为　　．

【解析】解：，

，，

在方向上的投影为：．

故答案为：．

13．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影为　　．

【解析】解：，，

，，

在方向上的投影是．

故答案为：．

题型7 垂直问题

1．已知向量，，且，则　　

A． B．5 C．6 D．7

【解析】解：，，且，

，解得．

故选：．

2．已知向量，，，若，，则　　

A．14 B． C．10 D．6

【解析】解：向量，，，

，可得，解得，，

，可得，解得，

，

则．

故选：．

3．已知向量，向量，且，则　　

A．6 B．2 C． D．

【解析】解：向量，向量，且，

，

则，

故选：．

4．已知向量，．若向量与垂直，则　　

A．6 B．3 C．7 D．

【解析】解：已知向量，，若向量与垂直，

则，求得，

故选：．

5．设，，向量且，，则　　

A． B． C． D．10

【解析】解：；

；

；

；

；

；

；

；

．

故选：．

6．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则　　．

【解析】解：两个单位向量，的夹角为，

．

，，

，

，解得，

故答案为：．