新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第1讲 轨迹问题（2份打包，解析版+原卷版）

第1讲 轨迹问题

一．选择题（共12小题）

1．方程所表示的曲线是　　

A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆

2．方程表示的曲线为　　

A．两个半圆 B．一个圆 C．半个圆 D．两个圆

3．在数学中有这样形状的曲线：．关于这种曲线，有以下结论：

①曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线上任意两点之间的距离都不超过2；

③曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5．

其中正确的结论有　　

A．①③ B．②③ C．①② D．①②③

4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线、已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有　　

①双纽线经过原点；　②双纽线关于原点中心对称；③；④双纽线上满足的点有两个．

A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④

5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有　　

①双纽线关于原点中心对称；②；

③双纽线上满足的点有两个；④的最大值为．

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③

6．如图，设点和为抛物线上除原点以外的两个动点，已知，，则点的轨迹方程为　　

A．（原点除外） B．（原点除外） 

C．（原点除外） D．（原点除外）

7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为　　

A． B．3 C． D．4

8．由曲线围成的图形面积为　　

A． B． C． D．

9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是　　

A． B．  

C． D．

10．已知点集，则平面直角坐标系中区域的面积是　　

A．1 B． C． D．

11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为．给出下列四个结论：

①曲线有四条对称轴；

②曲线上的点到原点的最大距离为；

③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴

围成的矩形面积最大值为；

④四叶草面积小于．

其中，所有正确结论的序号是　　

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④

12．曲线为：到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的个数为　　

（1）曲线一定经过原点；

（2）曲线关于轴、轴对称；

（3）的面积不大于8；

（4）曲线在一个面积为64的矩形范围内．

A．1 B．2 C．3 D．4

二．多选题（共2小题）

13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系中，到定点，距离之积等于的点的轨迹是“曲线”．若点，是轨迹上一点，则下列说法中正确的有　　

A．曲线关于原点中心对称 

B．的取值范围是， 

C．曲线上有且仅有一个点满足 

D．的最大值为

14．在平面直角坐标系中，为曲线上一点，则　　

A．曲线关于原点对称 

B． 

C．曲线围成的区域面积小于18 

D．到点的最近距离为

三．填空题（共6小题）

15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：

①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线上任意一点到原点的距离都不超过．

③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4．

其中，所有正确结论的序号是　　．

16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：

①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3．

其中，所有正确结论的序号是　　．

17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：

①曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2；

③曲线围成区域的面积大于；

④方程表示的曲线在第二象限和第四象限．

其中正确结论的序号是　　．

18．曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为3的动点的轨迹．则曲线与轴交点的坐标是　　；又已知点，为常数），那么的最小值（a）　　．

19．已知点，动点满足且，则点的轨迹方程为　　．

20．在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）．则得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为　　；

四．解答题（共5小题）

21．如图，直线和相交于点，，点．以，为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点的距离相等．若为锐角三角形，，，且．建立适当的坐标系，求曲线段的方程．

22．已知双曲线的左、右顶点分别为、，点，，，是双曲线上不同的两个动点．求直线与交点的轨迹的方程．

23．设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求圆心的轨迹的方程．

24．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆外的动点，满足．点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，．

（Ⅰ）设为点的横坐标，证明；

（Ⅱ）求点的轨迹的方程；

（Ⅲ）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使△的面积，求的正切值；若不存在，请说明理由．