新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第9讲 蒙日圆问题（2份打包，解析版+原卷版）

第9讲蒙日圆问题

一、解答题

1．已知椭圆的一个焦点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.

2．给定椭圆C： (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.

（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．

3．给定椭圆 C : ，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F1(, 0) ，其短轴上的一个端点到 F1 的距离为

（1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程；

（2）若倾斜角 45°的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点，求弦 MN 的的长；

（3）点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线 l1、l2，使得 l1、l2与椭圆 C 都只有一个公共点，判断l1、l2的位置关系，并说明理由.

4．已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为.

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）如图，点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由.

5．已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值.

6．已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点．

(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；

(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．

设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；

②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.

7．已知椭圆的方程为.

（1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；

（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为､，点在直线上的射影为点，求点的坐标；

（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且､都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程.

8．已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上运动，若面积的最大值为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作圆：，的两条切线，分别与椭圆交于两点，(异于点)，当变化时，直线是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．

(1) 求椭圆C2的标准方程；

(2) 设点P为椭圆C2上的一点．

①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；

②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．

10．已知抛物线上一点到焦点的距离.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.

11．如图，已知是椭圆:上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点、．

（1）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：为定值；

（2）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

12．已知抛物线E：过点，过抛物线E上一点作两直线PM，PN与圆C：相切，且分别交抛物线E于M、N两点．

（1）求抛物线E的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）若直线MN的斜率为，求点P的坐标．