新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第10讲 非对称韦达（2份打包，解析版+原卷版）

第10讲 非对称韦达

一、解答题

1．已知椭圆E：的离心率是，，分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，的面积为直线l过点且与椭圆E交于P，Q两点．

求椭圆E的标准方程；

求面积的最大值；

设直线与直线交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程．

2．已知A，B分别为椭圆的左右顶点，E为椭圆C的上顶点，F为椭圆C的右焦点，E与F关于直线对称，的面积为，过的直线交椭圆C于两点M，N(异于A，B两点).

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：直线与的交点P在一条定直线上.

3．已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，离心率是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且的周长是，

直线与交于点M.

(1)求椭圆的方程；

(2)(ⅰ)求证直线与交点M在一条定直线l上；

(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：是定值．

4．已知、分别是离心率的椭圆的左右项点，P是椭圆E的上顶点，且.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若动直线过点，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线恒过定点.

5．已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．

6．已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）求四边形面积的最大值；

（3）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）

7．已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝2|PF1|．

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点．

8．已知椭圆过点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．

9．如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．

10．椭圆 的两顶点为如图，离心率为，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与直线交于点.

（Ⅰ）当时，求直线的方程；

（Ⅱ）当点异于两点时，求证： 为定值.

11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．

12．已知椭圆的长轴长为6，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且，记直线AM，BN的斜率分别为，且,求直线的方程.

13．已知椭圆的长轴长为6，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且，直线的斜率为，记直线AM，BN的斜率分别为，试证明:的值为定值.

14．已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）.当点与椭圆的上顶点重合时，.

（1）求椭圆的方程

（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.