高考物理一轮复习第10章电磁感应第7课时电磁感应中的动量问题学案

第7课时　电磁感应中的动量问题

命题视角一　动量定理在电磁感应中的应用

题型1　利用动量定理求q或x

[例1]　(多选)如图所示，固定在水平面内的两根平行的光滑金属导轨间距为L，导轨电阻不计，左端接有阻值为R的电阻，导轨处在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向下的匀强磁场中。质量为m、电阻不计的导体棒ab，在垂直于导体棒的水平恒力F的作用下，由静止开始运动，经过时间t，导体棒ab刚好匀速运动，整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。在这个过程中，下列说法正确的是(　　)

A．导体棒ab刚好匀速运动时的速度v＝

B．通过电阻的电荷量q＝

C．导体棒的位移x＝

D．电阻上产生的焦耳热Q＝

[解析]　导体棒匀速运动时满足F＝F安＝，解得v＝，选项A正确；根据动量定理有Ft－BLt＝mv，而q＝t，则q＝＝，选项B错误；又q＝＝，联立解得x＝，选项C正确；根据能量关系可得，电阻上产生的焦耳热Q＝Fx－mv2，解得Q＝，选项D正确。

[答案]　ACD

题型2　利用动量定理求运动时间t

[例2]　(2021·杭州质检)如图甲所示，绝缘水平面上有一间距L＝1 m的金属U形导轨，导轨右侧接一阻值R＝3 Ω的电阻。在U形导轨中间虚线范围内存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场的宽度d＝1 m，磁感应强度大小B＝0.5 T。现有一质量为m＝0.1 kg，电阻r＝2 Ω、长为L＝1 m的导体棒MN以一定的初速度v0从导轨的左端开始向右运动，穿过磁场的过程中，线圈中的感应电流i随时间t变化的图像如图乙所示。已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数μ＝0.3，导轨电阻不计，则导体棒MN穿过磁场的过程中，求：

(1)MN刚进入磁场时的初速度大小；

(2)电阻R产生的焦耳热；

(3)导体棒通过磁场的时间。

[解析]　(1)由题图乙可知，MN刚进入磁场时的电流I1＝0.5 A，

根据闭合电路欧姆定律得I1＝，

根据法拉第电磁感应定律得E＝BLv0，

联立解得v0＝＝5 m/s。

(2)导体棒通过磁场的过程中，由动能定理得

－μmgd－W安＝mv2－mv02，

而v＝＝3 m/s，

电阻R产生的焦耳热QR＝W安，

联立解得QR＝0.3 J。

(3)导体棒通过磁场过程，取向右为正方向，由动量定理得－μmgt－BLt＝mv－mv0，

t＝＝，联立解得t＝0.5 s。

[答案]　(1)5 m/s　(2)0.3 J　(3)0.5 s

[集训冲关]

1.(2021·邢台模拟)(多选)如图所示，两光滑金属导轨，间距为1 m，固定在绝缘桌面上的导轨部分是水平的，且处在磁感应强度大小为1 T、方向竖直向下的有界匀强磁场中(导轨其他部分无磁场)，电阻R的阻值为2 Ω，桌面距水平地面的高度为H＝1.25 m，金属杆ab的质量为0.1 kg，有效电阻为1 Ω。现将金属杆ab从导轨上距桌面高度为h＝0.45 m的位置由静止释放，其落地点距桌面左边缘的水平距离为x＝1 m。取g＝10 m/s2，空气阻力不计，离开桌面前金属杆ab与金属导轨垂直且接触良好。下列判断正确的是(　　)

A．金属杆刚进入磁场时，其速度大小为3 m/s

B．金属杆刚进入磁场时，电阻R上通过的电流大小为1.5 A

C．金属杆穿过匀强磁场的过程中，克服安培力所做的功为0.25 J

D．金属杆穿过匀强磁场的过程中，通过金属杆某一横截面的电荷量为0.2 C

解析：选AC　由机械能守恒定律，有mgh＝mv2，解得金属杆刚进入磁场时，其速度大小v＝3 m/s，选项A正确；金属杆刚进入磁场时切割磁感线产生感应电动势E＝BLv＝3 V，由闭合电路欧姆定律，得电阻R中通过的电流I＝＝1.0 A，选项B错误；由平抛运动规律，有x＝v0t，H＝gt2，联立解得v0＝2 m/s，由动能定理，得金属杆穿过匀强磁场的过程中，克服安培力做功WA＝mv2－mv02＝0.25 J，选项C正确；由动量定理有－BLt＝mv0－mv，即－BLq＝m(v0－v)，解得q＝0.1 C，选项D错误。

2.如图所示，质量为M的U形金属架M′MNN′，静止在粗糙绝缘水平面上(与水平面间的动摩擦因数为μ)，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。M′M、NN′相互平行，相距为L，电阻不计且足够长，底边MN垂直于M′M，电阻为r。质量为m的光滑导体棒ab长为L、电阻为R，垂直M′M放在框架上，整个装置处于垂直框架平面向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场中。在与ab垂直的水平拉力F作用下，ab由静止开始向右做匀加速直线运动，经x距离后撤去拉力F，直至最后停下，整个过程中框架恰好没动，ab与M′M、NN′始终保持良好接触。求ab运动的总路程。

解析：由题意可知当框架恰好不动时，ab速度最大，

则有FA＝fm＝μ(M＋m)g

而FA＝BIL

且I(R＋r)＝BLvm

解得vm＝

撤去拉力F后ab在安培力作用下做减速运动，由动量定理可知FA′t＝mvm

而FA′＝BL，且q＝t，

联立解得q＝

又因为q＝＝，

解得x′＝

所以总路程s＝x＋x′＝x＋。

答案：x＋

　　　　　　命题视角二　动量守恒定律在电磁感应现象中的应用

在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。

[典例]　(2021·淄博模拟)如图所示，一质量为m、电阻不计的足够长的光滑U形金属导轨MNQP，位于光滑绝缘水平桌面上，平行导轨MN和PQ相距L，空间存在着足够大的方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。有一质量也为m的金属棒CD，垂直于MN放置在导轨上，并用一根与MN平行的绝缘细线系在定点A。已知细线能承受的最大拉力为T0，棒接入导轨间的有效电阻为R。现从t＝0时刻开始对导轨施加水平向右的拉力，使其从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动。

(1)求从导轨开始运动到细线断裂所需的时间及细线断裂时导轨的瞬时速度大小；

(2)若在细线断裂时，立即撤去拉力，求此后过程中回路产生的总焦耳热Q。

[解析]　(1)细线断裂时，对棒有T0＝F安，F安＝BIL

I＝，E＝BLv0，v0＝at0

解得t0＝，v0＝。

(2)在细线断裂时立即撤去拉力，导轨向右做减速运动，棒向右做加速运动，直至二者速度相同，设二者最终速度大小为v，撤去拉力时，导轨的速度v0＝，

由系统动量守恒可得mv0＝2mv，解得v＝＝

撤去拉力后，系统总动能的减少量等于回路消耗的电能，最终在回路中产生的总焦耳热为

Q＝mv02－×2mv2，解得Q＝。

[答案]　(1)　　(2)

[集训冲关]

1. (多选)如图所示，在水平面上有两条光滑平行金属导轨MN、PQ，导轨间距为L，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直导轨平面向下。两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆放在导轨上，且与导轨垂直，它们在导轨间的电阻均为R，两导轨电阻不计。杆1以初速度v0滑向杆2，为使两杆不相碰，则在杆2固定与不固定两种情况下，下列说法正确的是(　　)

A．杆2不固定时，两杆组成的系统动量守恒

B．固定与不固定的情况下，最初两杆最小间距之比为1∶2

C．固定与不固定的情况下，最初两杆最小间距之比为2∶1

D．固定与不固定的情况下，通过闭合回路的电荷量之比为4∶1

解析：选AC　两杆均不固定时，杆1和杆2组成的系统所受合力为零，动量守恒，A正确，当杆2固定时，对杆1由动量定理得：BLq1＝mv0，且q1＝＝，

则q1＝，x1＝；当杆2不固定时，由动量守恒定律得：mv0＝2mv，得v＝，

对杆2得：BLq2＝m－0，

且q2＝＝，则q2＝，

x2＝，故q1∶q2＝2∶1，x1∶x2＝2∶1，B、D错误，C正确。

2．如图所示，光滑平行金属导轨的水平部分处于竖直向下的B＝4 T的匀强磁场中，两导轨间距为L＝0.5 m，导轨足够长且不计电阻。金属棒a和b的质量都为m＝1 kg，连入导轨间的电阻Ra＝Rb＝1 Ω。b棒静止于导轨水平部分，现将a棒从h＝80 cm高处自静止沿弧形导轨下滑，通过C点进入导轨的水平部分，已知两棒在运动过程中始终保持与导轨垂直，且两棒始终不相碰。求a、b两棒的最终速度，以及整个过程中b棒中产生的焦耳热(已知重力加速度g＝10 m/s2)。

解析：设a棒下滑至C点时速度为v0，由动能定理，有：

mgh＝mv02－0，解得：v0＝4 m/s；

此后的运动过程中，a、b两棒达到共速前，两棒所受安培力始终等大反向，因此a、b两棒组成的系统动量守恒，有：

mv0＝(m＋m)v

解得a、b两棒共同的最终速度为：v＝2 m/s，此后两棒一起做匀速直线运动；

由能量守恒定律可知，整个过程中回路产生的总焦耳热为：

Q＝mv02－(m＋m)v2

则b棒中产生的焦耳热为：Qb＝Q

解得：Qb＝2 J。

答案：2 m/s　2 J