2021学年第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置教学演示ppt课件

2.5.2  圆与圆的位置关系

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)

一、教学目标

1.知识与技能

（1）圆与圆的位置关系的判断方法．

（2）圆与圆的位置关系的应用

（3）轨迹方程培养学生“数形结合”的意识.

2.过程与方法

几何法：设两圆的连心线长为，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，圆与圆相离；

（2）当时，圆与圆外切；

（3）当时，圆与圆相交；

（4）当时，圆与圆内切；

（5）当时，圆与圆内含.

代数法：

有两组不相同的实数解⇔  两圆相交 ;       

有两组相同的实数解⇔两圆相切（内切或外切）;      

无实数解⇔两圆相离（外离或内含）.                                   

3.情态与价值观

（1）动点圆的轨迹问题，数形结合的思想.，培养数学抽象能力.

（2）根据圆的方程判断圆与圆的位置关系．培养数学运算能力.

（3）综合应用圆与圆的位置关系解决问题．培养学生逻辑推理能力.

二、教学重难点

重点：掌握圆与圆的位置关系的判断方法

难点：能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.

三、教学过程

1.1创设情境，引发思考

【实际情境】每逢节假日农村集市上套圈游戏盛行，商家圈起来一小片空地，撒满一元，五角和一角的硬币，玩家10元钱可套20环，看似简单套起来却没有那么容易，要求圆环落地后不能触碰硬币，毕竟硬币面值越大，想套中就越难。

问题1：（1）一次套圈中把玩家的目标硬币和圆环看成两个圆，那么这两个圆满足什么位置关系才算套中？（2）为什么硬币面值越大，想套中就越难？（3）两个圆的位置关系和圆心距以及半径存在怎样的数量关系？

【预设的答案】（1）内含（2)硬币面值越大，套中时要求两个圆心距离越近，难度越大相交，外切和内切（3）类比研究判断直线与圆的位置关系的方法.

【设计意图】问题的提出源于实际生活，结合学生已有的知识经验，启发学生思考，激发学生学习兴趣.

【数学情境】尺规作图，请同学们在纸上分别画出半径为3cm和5cm的圆，以小组为单位进行汇总，看看可以画出多少种位置关系，并探讨不同位置关系的圆心距满足的条件.

【设计意图】创设数学情境，通过动手画图，小组讨论的形式，让学生处于数学学习的主导地位，增强学生的学习兴趣和自主学习能力.

【活动预设】学生以小组为单位总结出判断两个圆位置关系的几何法：利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，满足相应的条件，判断两圆的位置关系.设两圆的圆心距为，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，圆与圆相离；

（2）当时，圆与圆外切；

（3）当时，圆与圆相交；

（4）当时，圆与圆内切；

（5）当时，圆与圆内含.

问题2：如果建立平面直角坐标系，目标硬币和圆环看成两个圆，得到两个圆的方程，类比直线与圆的位置关系，是否可以通过方程组解的个数，来判断两个圆的位置关系？

【设计意图】进一步引导学生用代数法判断两个圆的位置关系，把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．

1.2探究典例，初步应用

活动：已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含

【活动预设】根据数学情景总结出的结论，把圆的一般方程化为标准方程，比较两个圆的圆心距与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小，满足相应条件，求解参数a.

【预设的答案】(1)当a＝5时，两圆外切；当a＝3时，两圆内切．(2)当3＜a＜5时，两圆相交．(3)当a＞5时，两圆外离．(4)当0＜a＜3时，两圆内含．

【设计意图】理论结合实际,运用几何法判断两圆位置关系.

1.3具体感知，理性分析

活动：已知圆C1：,圆C2： 分别用几何法和代数法判断圆C1与圆C2的位置关系.

【设计意图】

（1）灵活运用判断两圆的位置关系的两种方法：几何法和代数法．

（2）比较两种方法判断两个圆位置关系的异同 .

问题3：用代数法判断两个圆的位置关系时，如果两圆方程联立消元后得到的方程的 ，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？

【预设的答案】如果，则两圆相切；此时无法判定两圆是内切还是外切，还要根据两圆的半径与连心线的长作进一步判断.

【设计意图】

（1）更深入的理解判别式对两圆位置关系的影响根源在于交点个数；

（2）仅仅由交点个数无法判断两个圆的位置关系.

问题4：在平面直角坐标系中画出活动2中两个圆的图像，若将两个圆的方程相减，你发现了什么？并求出圆C1与圆C2的交点坐标.

【预设的答案】两相交圆方程相减得公共弦方程,交点坐标.

【活动预设】教师引导学生阅读教科书中的相关内容，学生观察图形并思考，发表自己的解题方法.

【设计意图】运用数形结合的思想，探究相交的两个圆引出的公共弦方程，以及交点坐标问题.

2.   初步应用，理解概念

例1．(2021·皖南八校联考)已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　)

A．{1，－1}  B．{3，－3}

C．{1，－1，3，－3}   D．{5，－5，3，－3}

【预设的答案】C   两圆只有1个公共点，则两圆外切或内切．

如果两圆外切，则|a|＝2＋1＝3，a＝±3；

如果两圆内切，则|a|＝1，a＝±1.

综上，a∈{1，－1，3，－3}

【设计意图】巩固判断两个圆的位置关系的两种方法.

A.(1，0)和(0，1)           B.(1，0)和(0，-1)  

C. (-1，0)和(0，-1)        D.(-1，0)和(0，1)

【预设的答案】C

【设计意图】求相交圆的交点坐标:（1）代数法（2）答案带入题目检验

例3.已知两圆和．求公共弦的长度．

【预设的答案】解法一：两方程联立，得方程组

两式相减得x＝2y－4　③，把③代入②得y2－2y＝0，

∴y1＝0，y2＝2．

∴或

∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)．

∴两圆的公共弦长为＝2．

解法二：两方程联立，得方程组

两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；

由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，

其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5．

圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离

d＝＝3，

∴两圆的公共弦长为2＝2＝2．

两圆的公共弦长为．

【设计意图】探讨求公共弦长的方法.

（1）代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长．

（2）几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长.

【设计意图】利用中点坐标公式，坐标系解决平面几何问题.

3.   归纳小结，文化渗透

思考：构成奥运五环中的圆之间有哪些位置关系，生活中的日用百货，建筑学领域，还有哪些涉及两个圆的位置关系？

【设计意图】

（1）梳理对判断两个圆的位置关系方法的理解和应用；

（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习两个圆位置关系的必要性 .

四、归纳小结，课后作业

1.判断圆与圆的位置关系的两种方法：几何法和代数法

2.求两个相交圆公共弦长的两种方法：几何法和代数法

3.满足某种几何条件的动点圆的轨迹问题，用的是坐标法.这种方法建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合思想.

1.教科书130页练习.习题4.2 A组第4、9、10、11题.

2.步步高《圆与圆的位置关系》习题