1.1集合 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
- 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
- 已知非空集合，满足以下两个条件：，的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素则有序集合对的个数为( )
A. B. C. D.
- 已知集合，，则的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
- 若集合，，则，，的关系是( )
A. B. C. D.
- 下列表示正确的个数是( )
若，则
A. B. C. D.
- 设集合，集合是的子集，若当时，都有且，则称为的一个“孤立元素”，那么中无“孤立元素”的元子集的个数为( )
A. B. C. D.
- 已知非空集合满足：对任意，总有且，若，则满足条件的的个数是( )
A. B. C. D.
- 设为全集，对集合定义运算“”：对任意集合( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
- 某校举办运动会，高一的两个班共有名同学，已知参加跑步、拔河、篮球比赛的人数分别为，，，同时参加跑步和拔河比赛的人数为，同时参加拔河和篮球比赛的人数为，同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人数为，三项比赛都不参加的人数为，则( )
A. 同时参加跑步和篮球比赛的人数为 B. 只参加跑步比赛的人数为
C. 只参加拔河比赛的人数为 D. 只参加篮球比赛的人数为
- 已知集合，，若，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
- 已知全集，集合，，则集合可以表示为( )
A. B.
C. D.
- 若集合，满足：，，则下列关系可能成立的是 ( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知，，若，则实数的取值集合为 ．
- 若，，且，，则的可能取值所组成的集合中元素的个数为 ．
- 设，，若，则实数组成的集合 ．
- 若集合，且，则实数
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 已知集合，，，且，求，的值．
- 全集，集合，集合．
若，且集合满足：，，求出所有这样的集合
集合、是否能满足若能，求实数的取值范围若不能，请说明理由．
- 设集合，集合．
求使的实数的取值范围；
是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
- 设全集是，集合，．
若，求；
问题：已知________，求实数的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．
；；． - 学校举办运动会时，高一班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛．
Ⅰ同时参加田径和球类比赛的有多少人？
Ⅱ只参加游泳一项比赛的有多少人？ - 在，，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合，．
当时，求；
若_______，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了韦恩图，以及集合的基本运算，中档题．
由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为，再利用集合的基本运算即可求解．
【解答】
解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为，
全集，集合，，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查交集、并集及其运算，考查了学生理解问题的能力，属于基础题．
由，可知，中的元素只能为，，，，且，中不能有相同元素，分别讨论集合，元素个数，即可得到结论．
【解答】
解：若集合中只有个元素，则集合中有个元素，且，，
所以，，此时有序集合对有对
同理，若集合中只有个元素，则集合中有个元素，此时有序集合对有对
若集合中有个元素，则集合中有个元素，且，，不满足题意．
所以满足题意的有序集合对的个数为故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集运算，考查集合的真子集个数问题．
先分别求出集合和，由此能求出的真子集的个数．
【解答】
解：集合
，
，
，
的真子集的个数为：个．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
对于集合：，对于集合：，对于集合：，即可判断选项．
本题主要考查了集合的包含关系，属于中档题．
【解答】
解：对于集合：
对于集合：，
对于集合：，
则．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查元素与集合的关系，集合间的基本关系，集合的基本运算属于中档题．
根据相关概念逐项判断即可．
【解答】
解：空集里没有元素，故元素不属于空集，故正确；
空集是任何一个集合的子集，故正确；
左边集合为点集，右边集合为数集，故错误；
若，即的所有元素都属于，所以，故正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据定义列出满足条件所有不含“孤立元素”的集合，进而求出不含“孤立元素”的集合个数．
由，结合时，若有，且，则称为的一个“孤立元素”，用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．
【解答】
解：，
其中不含“孤立元素”的元子集是：
，，
，，共个，
那么中无“孤立元素”的个元素的集合的个数是个．
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查元素与集合关系的判断，考查了集合的子集个数，是中档题．
由题意是集合的非空子集，且，不同时出现，即可得出结论．
【解答】
解：由题意是集合的非空子集，且，不同时出现，
因为集合的非空子集有个，
当，同时出现的子集有个，
故满足题意的有个．
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合的概念和基本运算，属于中档题．
根据题中新定义，结合集合的运算求解即可．
【解答】
解：，
对于任意集合，，，
则
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查并集、并集、图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
设同时参加跑步和篮球但不参加拔河的人数为，由题意作出图，列方程求出，由此能求出结果．
【解答】
解：设同时参加跑步和篮球但不参加拔河的人数为，
由题意作出图，如下：
，
解得．
同时参加跑步和篮球比赛的人数为，故A错误
只参加跑步比赛的人数为，故B正确；
只参加拔河比赛的人数为，故C正确；
只参加篮球比赛的人数为，故D正确．
故答案选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查并集和集合关系中的参数问题，属于基础题．
由，得，然后对进行分类讨论．
【解答】
解：因为，则，
当时，；
当时，
当时，；
当时，；
故选ABD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
根据题目条件直接进行集合间运算即可．
本题主要考查集合的交并补混合运算．
【解答】
解：，，
，，
，
．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了元素与集合的关系，考查了集合的交运算，子集的定义，属于中档题．
对于选项A，经过推理可得该选项不可能成立；对于选项B、、，可举例子说明这三个选项均可能成立．
【解答】
解：对于选项A若，则集合中的每一个元素都属于集合，这与，矛盾，故选项A不可能成立；
对于选项B令，，则，但，此时，故选项B可能成立；
对于选项C令，，满足，故选项C可能成立；
对于选项D令，，则，但，此时，故选项D可能成立．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集及其运算，以及利用集合与集合的包含关系求参数，属于中档题．
求出集合，根据，可得，分类讨论和即可得结果．
【解答】
解：，，
，，
当时，，
当时，，
要使，只需或
或，
实数的取值组成的集合为 ．
故答案为 ．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合中的元素个数问题．
讨论，的取值即可得解．
【解答】
解：，，且，，
若，，
则，
若，或，，
则，
若，，
则，
所以的可能取值所组成的集合中元素的个数为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查集合关系中的参数取值问题，属于中档题 ．
解一元二次方程求出集合，根据可得是的子集，分与讨论求解即可．
【解答】
解：，
．
又，
当时，，显然；
当时，，
由于，或，
则或，
综上，．
故答案为．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了集合中元素的性质和元素与集合的关系，属于中等题．
由题意得或或，解出的值再逐一检验即可．
【解答】
解：因为集合，且，
所以或或，解得或或，
当时，，满足，符合题意；
当时，，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；
当时，，满足，符合题意；
综上所述，或．
故答案为或．
17.【答案】解：，必有，，，
，解得或．
当时，，
又，，但，
不满足，不符合题意
当时，，，可得．
综上，，．
【解析】本题考查集合的交集运算及元素与集合的关系．
由，可得得出得出或，当时得出舍去，当时，得出，同时求出即可得出．
18.【答案】解：，，解得或，即．
，，
，，
，中必然含有元素，，，或．
当时，，
若时，则，解得
若时，若，则，，解得或，
，不满足，不合题意
若，则，，解得或，
，不满足，不合题意
若，则，，解得或，
，不满足，不合题意．
综上所述，实数的取值范围是
【解析】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
分别求出集合，，再根据已知条件进行分析求解即可．
由可得，当时求出的范围．当时，由，分、、，分别求出的值，再验证是否满足，即得所求．
19.【答案】解：因为，所以．
当时，，，符合；
当时，，所以
解得：，且．
综上，实数的取值范围为：；
，，
当时，，满足；
当时，，若，则有；
当时，，若，则有．
所以时，有或，
因此时，．
即存在实数，使成立，此时实数的取值范围为．
【解析】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查集合的交集运算，属于中档题．
讨论和，根据即可得到结果；
对实数分、和三种情况讨论，结合数轴，先求时的范围，即可求得结果．
20.【答案】解：集合或，
，
若，则，
．
选：，则，
当时，则有，即，
当时，则有或，均无解，
综上所述，所求实数的取值范围是．
选：，由于，
则有，解得，
故所求实数的取值范围是．
选：，由于，
当时，则有，即，
当时，则有，解得，
综上所述，所求实数的取值范围是．
【解析】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
求出集合，，从而求出，由此能求出．
选：，则分时和讨论，由此能求出实数的取值范围．
选：，可得，由此能求出实数的取值范围．
选：，当时，则有，当时，，由此能求出实数的取值范围．
21.【答案】解：将题中文字语言转化为数学符号语言．
文字语言 | 数学符号语言 |
高一名同学参加比赛 | 记名参加比赛学生构成的集合为 |
参加游泳比赛的同学 | 记参加游泳比赛的同学构成的集合为 |
参加田径比赛的同学 | 记参加田径比赛的同学构成的集合为 |
参加球类比赛的同学 | 记参加球类比赛的同学构成的集合为 |
同时参加游泳和田径比赛的同学 | |
同时参加游泳和球类比赛的同学 | |
同时参加田径和球类比赛的同学 | |
同时参加三项比赛的同学 | |
只参加游泳一项比赛的同学 |
把题中量的关系用数学符号语言表示，用表示集合中元素的个数．
文字语言 | 数学符号语言 |
高一名同学参加比赛 | |
人参加游泳比赛 | |
人参加田径比赛 | |
人参加球类比赛 | |
同时参加游泳和田径比赛的有人 | |
同时参加游泳和球类比赛的有人 | |
同时参加田径和球类比赛的人 | |
没有人同时参加三项比赛 | |
只参加游泳一项比赛 |
构建解决问题的模型．
各集合间的关系可以用下图表示．
解决数学问题．
由上图可得，．
由的表中数据得，，于是．
又．
所以．
回答问题．
答：同时参加田径和球类比赛有人，只参加游泳一项比赛的有人．
【解析】本题考查同时参加田径比赛和球类比赛的人数的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
作出韦恩图，由韦恩图能求出同时参加田径比赛和球类比赛的人数及只参加游泳人数．
22.【答案】解：时，，，
；
若选择，则，
时，，解得；
时，，解得：；
综上知，实数的取值范围是；
若选择，则是的子集，，
时，，解得；
时，或，解得：或
综合得，的取值范围是：；
若选择，则：
时，，解得；
时，或者解得：或
综上知，实数的取值范围是：．
【解析】本题考查了一元二次不等式的解法，交集、并集和补集的定义及运算，分类讨论的思想，子集的定义，考查了计算能力，属于中档题．
可得出，时，得出集合，然后进行并集的运算即可；
若选条件，可得出，然后讨论是否为空集，列出不等式或不等式组，然后解出的范围；
若选择条件，可得是的子集，然后讨论是否为空集，列出不等式或不等式组，然后解出的范围；
若选择条件，，然后讨论是否为空集，列出不等式或不等式组，然后解出的范围．
