2.2函数 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 若函数，则的值域为( )
A. B. C. D.
- 下列各组函数的图象相同的是( )
A.
B.
C.
D.
- 若函数的值域是，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
- 如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
- 在下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A. ，，，
B. ，
C. ，
D. ，
- 已知函数的定义域为，则的定义域是( )
A. B.
C. D.
- 如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的大致图象为
A. B.
C. D.
- 设函数的定义域是且，值域是且，则下列四个图像可以是函数的图像的为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 下列说法正确的是( )
A. 已知集合，若，则
B. 若函数是偶函数，则实数的值为
C. 已知函数的定义域为，则的定义域为
D. 已知单调函数，对任意的都有，则
- 已知函数的定义域为，值域为，则( )
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数的定义域和值域都是
D. 函数的定义域和值域都是
- 德国数学家狄利克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的 值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为以下关于狄利克雷函数的性质，其中表述正确的是( )
A. B. 的值域为
C. 为奇函数 D.
- 下列各组函数中是同一函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 下列选项中，表示的是同一函数的是__________．
．，
．．，
．， - 设函数若，则实数 ．
- 设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是___________．
- 设为实数，函数，若是上的单调函数，则函数的值域为_______．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 已知二次函数满足且．
求的解析式；
画出函数的简图并求出该函数的值域．
- 南宁地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁号线通车后，列车的发车时间间隔单位：分钟满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为人；当时，载客量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁的载客量为．
求的表达式，并求发车时间间隔为分钟时列车的载客量；
若该线路每分钟的净收益为元问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
- 已知的定义域为，求函数的定义域；
已知的定义域为，求的定义域；
已知函数的定义域为，求函数的定义域． - 南京地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁号线通车后，列车的发车时间间隔单位：分钟满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为人；当时，载客量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁的载客量为．
求的表达式，并求发车时间间隔为分钟时列车的载客量；
若该线路每分钟的净收益为元问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
- 设，．
若，求的值；
求满足条件的函数的解析式，并写出定义域；
设的最小值为，求的最大值．
- 已知函数．
求的值；
若，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性、分段函数的值域以及复合函数，属于中档题．
先根据函数在对应区间上的单调性得出第一段上的范围，再利用二次函数在闭区间上的值域以及复合函数的方法得出第二段上的范围，最后求这两个范围的并集即得．
【解答】
解：当时，函数单调递增，
且当时，，，所以此时；
当时，令，该二次函数的对称轴是：，开口向下，
因为，所以，，
所以，故，
所以分段函数的值域为：，即为
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的概念，是中档题．
两个函数图象相同，则要求对应法则相同，定义域相同、值域相同，逐项判断即可得．
【解答】
解：对于，函数的定义域为，值域为，
而 的定义域为，值域为，故A不合题意；
对于，函数的定义域为，值域为，
而 ，则与的定义域、值域均相同，解析式相同，故B符合题意；
对于，函数的定义域为，但的定义域为，定义域不同，故
不合题意；
对于，两个函数的解析式不同，故D不合题意；
综上，故答案为．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的值域，属于中档题．
令，则，求出函数的单调性，求出函数的最值，从而可求出函数的值域．
【解答】
解：令，，则．
根据对勾函数性质得，
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
又当时，，
当时，，
当时，，
故函数的值域为，
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式、函数解析式的求法、根据解析式选择合适的函数图象．
首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象，求得结果．
【解答】
解：分两种情况讨论：
当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为，
从而可以求得，
当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，
可求得，
所以
根据函数解析式从而可选出正确的图象，
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数概念中同一函数的应用，属于基础题．
判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，逐一判断各选项的两个函数的定义域和对应法则是否一致即可得到结果．
【解答】
解：两个函数的定义域都为，但两个函数的解析式不相同，即对应法则不一样，故不表示同一函数；
B.的定义域为，的定义域为或，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；
C.的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；
D.的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，对应法则相同，故表示同一函数．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．
根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是．
故选．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式、函数解析式的求法、根据解析式选择合适的函数图象，属于中档题．
首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象，求得结果．
【解答】
解：分两种情况讨论：
当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为，
从而可以求得，
当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，
可求得，
所以
从而可选出正确的图象，
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的定义域和值域，函数图象，属于中档题．
根据函数的定义，结合图象逐一分析判断即可．
【解答】
解：观察发现，每一个图中都是一个对应一个，故都是函数图像．
对于，定义域是且，值域是，值域不满足
对于，定义域不满足
对于，定义域是且，值域是且，满足
对于，定义域不满足．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合中元素的性质、元素与集合的关系、函数定义域、函数的解析式、复合函数、函数的单调性与单调区间、函数的奇偶性，属于中档题．
利用元素与集合的关系得出或者，再利用集合元素的性质验证即可判定选项；利用奇偶性的定义求出的值即可判定选项；利用复合函数定义域的求解即可判定选项；利用换元法求出函数的解析式即可判定选项
【解答】
解：选项，已知集合，，
则或者，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去这种情况；
当时，时由以上分析知不成立，
当时集合元素为，符合题意，故最终，故A错误；
选项，函数是偶函数，根据偶函数的定义得到，
代入函数表达式得到，
化简得到，故B正确；
选项，函数的定义域为，由，得函数的定义域为，故C正确；
选项，设，，且，
则，，
是单调函数，，
则，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抽象函数的定义域和值域，复合函数的定义域和值域，属较难题．
本题的难点是对复合函数的定义域和值域的理解，对于，由可得，即可得出函数的定义域进行判定；对于，因为有解，故函数的值域也是，由此即可判定函数的值域；对于，由即对恒成立即可判定；对于，取由复合函数的定义域的求解即可判定．
【解答】
解：对于，因为函数的定义域为，所以由，可得，函数的定义域为，故A错误；
对于，函数的定义域为，值域为，所以由选项A可得，函数的定义域为，所以函数的值域也是，所以函数的值域为，故B正确；
对于，令，因为函数的定义域为，所以，解得，因为对恒成立，所以函数的定义域为，又因为对于函数的值域为，所以函数的值域也是，即函数的值域也是，所以函数的定义域和值域都是，故C正确；
对于，令，则的定义域为，所以由，可得，所以函数的定义域为，故D错误．
故选BC．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数新定义问题，涉及函数的解析式，函数定义域与值域，函数的奇偶性，属于中档题．
根据新定义函数结合函数的性质逐项判断即可求解．
【解答】
解：由题得，则，A正确；
容易得的值域为，B正确；
因为，所以，为偶函数，不正确；
因为，所以，D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了同一函数的概念，属于基础题．
根据函数的定义域、对应关系都相同是同一函数即可判断．
【解答】
解：，
两函数的定义域与对应关系都相同，是同一函数，对；
函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数，错；
函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数，C错误；
对于，两函数的定义域、对应关系相同，只是所用字母不同，是同一函数，D正确．
故选AD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的基本概念，关键是理解函数的三要素，即定义域、值域和对应关系，基础题．
对各选项求出函数的定义域和解析式，只要有一项不满足就不是同一函数．
【解答】
解：对于 项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，
故 与 不是同一函数；
对于 项， 的定义域为 ，且
的定义域为 ，且对应关系和 一致，
故 与 是同一函数；
对于 项， 和 对应关系不一致，
故 与 不是同一函数；
对于 项， ，解得 ，所以 的定义域为
，解得 或，所以 的定义域为 ，
故 与 不是同一函数；
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查分段函数，分类讨论是解决问题的关键．
根据分段函数的解析式，分类讨论即可．
【解答】
解：由题意可知函数
若，则，
当，即时，，解得，满足；
当，即时，，解得，不满足；
若，则，故，满足；
综上可得实数的值为或．
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抽象函数的解析式，函数定义域与值域，以及不等式的恒成立问题，属于较难题．
根据，得到，再由时，，得到时，，以此类推解答即可．
【解答】
解：，
，
时，，
时，
时，
时，
时，
当时，由，解得或，
若对任意，都有，则，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的单调性问题和函数的值域，涉及对勾函数单调性的运算，属于中档题．
先将函数写成分段形式，根据单调性求得的值，利用对勾函数的单调性讨论函数的值域．
【解答】
解：
当时，，
此时在上不单调，
故不满足题意；
同理可得不满足题意，
于是得到．
，
当时，，
当时，，
在上，，
根据对勾函数的单调性，，
在上，
根据对勾函数的单调性，，
函数的值域为，
故答案为．
17.【答案】解：因为，所以令二次函数为：，
又因为，
，
．
，
其图象如图所示：
由图可知函数的值域为
【解析】本题考查了“待定系数法”求函数解析式，分段函数的图象，属于中档题．
要求二次函数的解析式，直接设出解析式，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求得结果；
先写出的解析式，然后依题意画出图像，即可得解．
18.【答案】解：当时，．
当时，，
，，解得．
．
，
人．
当时，．
．
可得．
当时，．
，
因为函数在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，．
所以当列车发车时问间隔为时，该线路每分钟的净收益最大为元．
【解析】本题考查了分段函数的性质、反比例函数的单调性、对勾函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
当时，，当时，，由，解得，即可得出．
当时，，可得，利用反比例函数的单调性即可得出，当时，，可得，利用对勾函数的性质即可得出．
19.【答案】解：中的的范围与中的的取值范围相同，
，
，
即的定义域为．
由题意知中的，
，
又中的取值范围与中的的取值范围相同，
的定义域为．
函数的定义域为，
由，得，
的定义域为．
又，即，
函数的定义域为．
【解析】本题考查抽象函数的定义域的求法，解题时要认真审题，仔细解答，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
由得：，进而即可求得结果；
根据题意可得，得，即可求得结果；
根据题意先求，且分母不为，进而即可求得结果．
20.【答案】解：当时，．
当时，，
，
，解得．
．
人．
当时，．
．
可得．
当时，．
，
函数在上为减函数，在上为增函数，
当时，．
当列车发车时问间隔为时，该线路每分钟的净收益最大为元．
【解析】本题考查了分段函数的性质、反比例函数的单调性、对勾函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
当时，，当时，，由，解得，即可得出；
当时，，可得，利用反比例函数的单调性即可得出，当时，，可得，利用对勾函数的性质即可得出．
21.【答案】解：在，令可得：，
，，
解之得： ．
令，则，，
，
当时，，
当时，，
或，
，
当或时，，
当时，，
当时，，
在上递增，在递减，
在时，取得最大值，
的最大值为
【解析】本题主要考查函数的解析式，考查函数的定义域，考查分段函数的最值，考查函数的单调性，属于中档题．
令可得：，由，即可求出；
令，则，分情况讨论和，即可求出函数的解析式；
分情况讨论或，和，写出分段函数，由函数的单调性即可的最大值．
22.【答案】解：函数，
，
，
．
，
当时，，解得，不成立；
当时，，解得；
当时，，无解．
综上，实数的值为．
【解析】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
先求出，再求出，由此得到，从而能求出结果
由，得到当时，，当时，，当时，，由此能求出实数的值．
