2.4函数的奇偶性与简单的幂函数 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

2.4函数的奇偶性与简单的幂函数北师大版（  2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的条件(    )

A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

2. 已知幂函数的图像过，则下列结论正确的是(    )

A. 的定义域为 B. 在定义域上为减函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数

3. 下列四个结论中，正确的结论是(    )
   已知奇函数在上是减函数，则它在上是减函数；
   已知函数在上具有单调性，则的取值范围是；
   在区间上，函数，，，中有个函数是增函数；
   若，则．

A.  B.  C.  D.

4. 已知幂函数过点，则下列说法正确的是(    )

A. 是上的奇函数和增函数 B. 是上的奇函数和减函数
C. 是上的偶函数和增函数 D. 是上的偶函数和减函数

5. 下列四个结论中，正确的结论是(    )
   已知奇函数在上是减函数，则它在上是减函数；
   已知函数在上具有单调性，则的取值范围是；
   在区间上，函数，，，中有个函数是增函数；
   若，则．

A.  B.  C.  D.

6. 有四个幂函数：某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：偶函数；值域是；在上是增函数如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知点在幂函数的图象上，则函数是(    )

A. 奇函数 B. 偶函数
C. 定义域内的减函数 D. 定义域内的增函数

8. 下列四个结论中，正确的结论是(    )
   已知奇函数在上是减函数，则它在上是减函数；
   已知函数在上具有单调性，则的取值范围是；
   在区间上，函数，，，中有个函数是增函数；
   若，则．

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知函数幂函数图像经过点，则下列命题正确的有(    )

A. 函数为增函数
B. 函数为偶函数
C. 若，则
D. 若，则

10. 已知幂函数的图象与轴和轴都没有交点，且关于轴对称，则的值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 多选已知函数是幂函数，对任意，，且，满足若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

12. 下列说法正确的是    

A. 函数的增区间是
B. 函数是偶函数
C. 函数的减区间是
D. 幂函数图象必过点原点

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是          ．
14. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为          ．
15. 已知幂函数 的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．
16. 已知集合，且，则实数____．

若幂函数的图象经过点，则____

函数且一定过定点____．

已知定义在上的偶函数在上是减函数，且，若，则的取值范围是____．

若关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围是__________

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知幂函数，其中，若：

是区间上的增函数

对任意的，都有．

求同时满足的幂函数的解析式，并求当时，的值域．

18. 已知幂函数在上单调递减，且．

求函数的解析式；

判断函数的奇偶性，并说明理由；

若函数在上的最小值为，求实数的值．

19. 已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，求满足的的取值范围．
20. 已知幂函数为偶函数．
    求的解析式；
    若在上不是单调函数，求实数的取值范围．
21. 已知函数，其中且

求函数的定义域，并证明函数是偶函数

若幂函数的图象过点，求使成立的的取值范围．

22. 已知点在幂函数的图象上．

求的表达式；

设，求函数的零点，推出函数的另外一个性质只要求写出结果，不要求证明，并画出函数的简图．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了充分、必要条件的判断，考查幂函数的性质．
根据函数单调性及奇偶性，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

【解答】

解：要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则
解得：，
当时，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
所以“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的充分不必要条件．
故选A ．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了幂函数的性质，是中档题．
先利用已知点求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题即可．

【解答】

解：设幂函数，
幂函数的图象过点，
，，
，
的定义域为，且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B正确，
函数定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题．

由奇函数的性质即可得出；对二次函数配方即可得出；
利用幂函数的单调性即可得出；
由，利用对数的换底公式即可得出．
【解答】
解：已知奇函数在上是减函数，
由奇函数的性质可得：在上是减函数，正确；

函数在上具有单调性，
或，
解得或．
则的取值范围是，因此不正确；
在区间上，函数，，，中，函数是减函数，其他个函数是增函数，故正确；
若，则，
，
正确．
综上可知正确．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数，函数的奇偶性与单调性的判定问题，属于一般题．
求出函数的解析式，根据函数图像求解即可．

【解答】

解：设幂函数的解析式为，
幂函数过点，
，故，
所以幂函数解析式为，
由函数图像可知，
是上的奇函数和增函数．

故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题．

由奇函数的性质即可得出；对二次函数配方即可得出；利用幂函数的单调性即可得出；由，利用对数的换底公式即可得出．

【解答】

解：对于，已知奇函数在上是减函数，由奇函数的性质可得：在上是减函数，故正确；
对于，函数在上具有单调性，
或，解得或．
则的取值范围是，故错误；
对于，在区间上，函数，，，中，函数是减函数，其他个函数是增函数，故正确；
对于，若，则，
，故正确．
综上可知正确．
故本题选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查幂函数的奇偶性及值域的求法，函数的单调性的判断，考查幂函数基本性质．判断各个幂函数的奇偶性，值域以及单调性，即可得到结果．
【解答】
解：对于，，是奇函数，不满足偶函数；满足值域是，且；不满足在上是增函数．所以不正确；
对于，；具有性质是偶函数；具有性质值域是，且；不满足在上是增函数．所以正确．
对于，：不具有性质是偶函数；也不具有性质值域是，且所以不正确；
对于，；不具有性质是偶函数；也不具有性质值域是，且所以不正确；
故选B．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与性质，属于一般题．
根据幂函数的定义与性质，列出方程求出与的值，求出的解析式，即可得出结论． 

【解答】

解：幂函数的图象经过点，
且，
解得，；
在定义域上是奇函数，
且在，内都递减，但在定义域内不是减函数也不是增函数，
故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题．

由奇函数的性质即可得出；对二次函数配方即可得出；
利用幂函数的单调性即可得出；
由，利用对数的换底公式即可得出．
【解答】
解：已知奇函数在上是减函数，
由奇函数的性质可得：在上是减函数，正确；

函数在上具有单调性，
或，
解得或．
则的取值范围是，因此不正确；
在区间上，函数，，，中，函数是减函数，其他个函数是增函数，故正确；
若，则，
，
正确．
综上可知正确．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了幂函数函数解析式的求解及函数性质的简单判断，属于中档题．
结合已知点可求得， 然后结合该幂函数的性质对选项进行判断即可．

【解答】

解：设，
由题意可得，，解得，
所以函数解析式为．
易得函数在上单调递增，且为非奇非偶函数故A正确，B错误
当，则，故C正确；
又由函数图象易得为“上凸函数”，故，故 D错误，
故选AC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的概念与性质，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．
由幂函数的概念与该函数为偶函数的性质可知，且为偶数，从而可得答案．

【解答】

解：幂函数的图象与轴，轴没有交点，且关于轴对称，
且为偶数，
由得：，又，
的可能取值为，，，，；
当时，，为偶数，符合题意；
当时，，为奇数，不符合题意；
当时，，为偶数，符合题意；
当时，，为奇数，不符合题意；
当时，，为偶数，符合题意；
综上所述，的值可以为或或．
故选ABD．

11.【答案】 

【解析】 由函数为幂函数可知，解得或．

当时，当时，．

由题意知函数在上单调递增，

因此 ，其在上单调递增，且满足．

结合以及可知，

所以，所以．

当时，，

当时，，

当时，或或，

故BCD都有可能成立

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性，复合函数单调性，幂函数等知识点，属于中档题．
利用函数性质，幂函数，对选项逐一判断即可．

【解答】

解：对于，，解得，故函数定义域为 ，
令，则，
在上单调递增，在上单调递增，
所以 为函数的增区间，故A错误；
对于，函数，定义域为，满足 ，故函数为偶函数，故B正确；
，函数是由复合而成，在上单调递减，在单调递增，所以 是函数的减区间，故正确；
，幂函数不过原点，故D错误．
综上BC正确，
故选BC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的性质与函数的奇偶性，属于中档题．
根据幂函数的单调性，求解参数的值，代入需要求解的不等式，根据函数单调性求解不等式即可．

【解答】

解：幂函数在上是减函数，
，解得，
，
或，
当时，为偶函数满足条件，
当时，为奇函数不满足条件，
则不等式 ，
即，
在 上都为增函数，
，
解得：．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的单调性与奇偶性的综合应用，属于中档题．
根据对称性及单调性求出的值，判断出的单调性，从而得出和的关系．

【解答】

解：在上是减函数，
，
解得．
，
，或．
又的图象关于轴对称，
是偶数，
．
在上是减函数，在上是减函数，
且当时，，当时，，
，
或或，
解得或．
故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的性质与函数的奇偶性，属于中档题．
根据幂函数的单调性，求解参数的值，代入需要求解的不等式，根据函数单调性求解不等式即可．

【解答】

解：幂函数在上是减函数，
，解得，
，
或，
当时，为偶函数满足条件，
当时，为奇函数不满足条件，
则不等式 ，
即，
在 上都为增函数，
，
解得：．
故答案为．

16.【答案】；
；
；
；
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了集合中元素的性质，属于基础题依次令和，判断集合中的元素是否满足互异性即可．
【解答】
解：集合，且，
当时，，此时集合中有两个元素，不符合条件；
当时，解得或，
当时，集合中有两个元素，不符合条件；
当时，此时集合，符合题意；
故实数．
故答案为．
【分析】
本题主要考查了幂函数知识点，属于基础题设幂函数，由图像经过可得，将代入解析式即可求得答案．
【解答】
解：设幂函数，其图像经过，
代入得，解得，
此时，
，
故答案为．
【分析】
本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题当时，，即函数恒过定点．
【解答】
解：函数且，
当时，，
函数一定过定点．
故答案为．
【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题根据题意首先确定当时，因为，则，求解即可得到答案．
【解答】
解：是定义在上的偶函数，且在上是减函数，
在上是增函数，
，当时，
，则，
解得，
故答案为．
【分析】
本题主要考查了对数函数及其性质、对数不等式以及不等式的恒成立问题，属于中等题将问题转化为在时恒成立，求出在上的取值范围，由不等式恒成立即可求得的取值范围．
【解答】
解：不等式在时恒成立，
由对数函数的性质可知，在时恒成立，
即在时恒成立，
令，
易知在上为减函数，
，
由在时恒成立可得，
故答案为．  

17.【答案】解析：因为，所以，，．

因为对任意的，都有，即，

所以是奇函数．

当时，，只满足条件而不满足条件

当时，，条件都不满足

当时，，条件都满足，且在区间上是增函数， ，所以当时，函数的值域为．

【解析】略
 

18.【答案】 解：设，则，，，，即 
当时，在上单调递增，不满足题意，舍去；  当时，在上单调递减，满足题意．
函数的解析式为．
函数为奇函数．理由如下：  由，知，其定义域是，关于原点对称． 
又，函数是奇函数．
由，得，
函数的图象的对称轴为直线 
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，  不满足；
  当，即时，在上单调递增，，即，满足，； 
当，即时，在上单调递减，，即，不满足．
  综上所述，． 

【解析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了函数的奇偶性和单调性、最值的应用问题，是中档题．
用待定系数法求得幂函数的解析式；
根据奇偶性的定义判断函数是定义域上的奇函数；
求出函数的解析式，讨论的取值范围，利用在区间上的最小值求出的值．
 

19.【答案】解：因为函数在上单调递减，所以，

解得又因为，所以，．

因为函数的图象关于轴对称，

所以为偶数，故．

则原不等式可化为．

因为在，上均单调递减，

所以或或，

解得 或．

故的取值范围是或 ．

【解析】略
 

20.【答案】解：由题意，为幂函数，
所以，解得或，
因为是偶函数，所以；
，对称轴是，
若在上不是单调函数，则，解得，
故实数的取值范围是． 

【解析】本题考查幂函数的解析式、函数的奇偶性，考查二次函数的性质，属于中档题．
根据幂函数的定义求出的值，再根据函数为偶函数，即可求出函数的解析式；
得出函数的对称轴，根据函数单调性得，即可得出结果．
 

21.【答案】解：由题意知，，所以，故函数的定义域是．

又因为，

所以函数是偶函数．

由题意知，，所以，

故

要使，即，即，

则，解得，

故使成立的的取值范围是

【解析】本题考查了幂函数的运算、定义域的求法、偶函数的证明，对数函数的性质，属中档题．
由真数大于，求得定义域；用证明是偶函数；
代点求得解对数不等式得的集合．
 

22.【答案】解：因为为幂函数，
所以设，
又在的图象上，
所以，
所以．
由知，
故，
令，解得或，
故函数的零点为
，故其定义域为，值域为，
又，
故为偶函数，
根据单调性的性质可知在上单调递增，在上单调递减
函数的图象如图：
 

【解析】本题考查了幂函数，函数的零点与方程根的关系，函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性及函数图象的作法，属于中档题．
设，点在的图象上，从而求得，则可得的表达式；
由可得，令，可得函数的零点，从而可得其定义域与值域，由，可得为偶函数，从而可求出其单调区间并作出该函数的图象．