初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定精品课件ppt

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对于下面两个图形，你能说一说它们的名字和定义吗？
矩形：有一个角是直角的平行四边形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形
正方形也是特殊的平行四边形，观察这些正方形，你能说一说正方形的定义吗？
下面的图形你认识吗？它们是矩形或者是菱形吗？
探究一：矩形怎样变化后就成了正方形呢?
【做一做】拿一张矩形纸片，通过折叠得到一个正方形。
当矩形的邻边相等时就成了正方形。
探究二：菱形怎样变化后就成了正方形呢?
【做一做】拿一个菱形框架，通过变形得到正方形。
当菱形有一个角是直角时就成了正方形。
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
填一填：角： 边：对角线： 对称性：
对角线相等且互相垂直平分.
轴对称图形（4条对称轴）.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形.∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD.
正方形的性质1:正方形的四个角都是直角，四条边相等.
数学语言：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.
正方形的性质2:正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
数学语言：∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，AC=BD,OA=OB=OC=OD
菱形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
你能说一说平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系吗？
例1如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF，且BE⊥DF，理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°∴∠DCF=180°- ∠BCE=180°- 90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF，∴BE=DF.
（2）延长BE交DF于点M（如图）∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所需要的性质，使解题思路更简洁.
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
3.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠BED为(　　)A．15° B．35° C．45° D．55°
A．4 B．8 C．12 D．16
4.（2022贵阳中考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（　　）
5.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8.
3.对角线相等且互相垂直平分
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形