北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定优秀课件ppt

课题名

1.3.2 正方形的判定

教学目标

1.掌握正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算．

2．经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力、主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.

3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生运用数学的眼光辩证看问题的观点.

教学重点

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.

教学难点

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.

教学准备

教师准备：矩形纸片、菱形框架.

学生准备：复习正方形的性质.

教学过程

一、复习

问题1：什么是正方形？

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形有哪些性质？

1.正方形的四个角都是直角，四条边相等.

2.正方形的两条对角线相等且互相垂直平分.

二、探究新知

探究1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.

猜想1：当矩形的________________时，会变成一个正方形。

猜想2：当矩形的________________时，会变成一个正方形。

合作交流：试着证明对角线互相垂直的矩形是正方形。

已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB.

求证：四边形ABCD是正方形.

证明：

∵四边形ABCD是矩形,

∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.

∵AC⊥DB,

∴ AD=AB=BC=CD,

∴四边形ABCD是正方形.

总结归纳

通过矩形判定正方形：

定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。

数学语言：

∵四边形ABCD是矩形，

AB=AD，

所以四边形ABCD是正方形。

定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。

数学语言：

∵四边形ABCD是矩形，

AC⊥BD，

所以四边形ABCD是正方形。

满足什么条件的菱形是正方形？

猜想3：当菱形的________________时，会变成一个正方形。

猜想4：当菱形的________________时，会变成一个正方形。

合作交流：试着证明对角线相等的菱形是正方形。

已知：如图，在菱形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.

求证：四边形ABCD是正方形.

证明：∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.

∵AC=DB,

∴ AO=BO=CO=DO,

∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,

 ∴四边形ABCD是正方形.

总结归纳

通过菱形判定正方形：

定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。

数学语言：

∵四边形ABCD是菱形，

∠ABC=90°，

所以四边形ABCD是正方形。

概率4：对角线相等的菱形是正方形。

数学语言：

∵四边形ABCD是菱形，

AC=BD，

所以四边形ABCD是正方形。

三、例题讲解

例2已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．

思考：通过什么方式证明四边形BECF是正方形？

分析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；

证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形.

∵四边形ABCD是矩形,

∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,

∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB,

∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,

∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .

在△EBC中

∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,

∴∠BEC = 90°,

∴菱形BECF是正方形.

思考：前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？

归纳总结

四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.

四、过关练习

1.下列命题正确的是（       ）

 A.四个角都相等的四边形是正方形

 B.四条边都相等的四边形是正方形

 C.对角线相等的平行四边形是正方形

 D.对角线互相垂直的矩形是正方形

答案D

2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形

B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形

C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形

D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形

答案D

3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_______________（只填写序号）．

答案②③或①④

4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

(1)求证：△BED≌△CFD；

(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．

解：(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵D是BC的中点．∴BD＝CD.

∴△BED≌△CFD(AAS)．

(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED＝∠AFD＝90°.

又∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形．

由(1)知△BED≌△CFD，

∴DE＝DF.

∴四边形DFAE是正方形．

5.（舟山中考）如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别在矩形

ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.

∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°

∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.

∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.

∴△ABE≌△ADF(AAS)．∴AB＝AD.

∴矩形ABCD是正方形．

五、课堂小结

本节课你学到了什么？

判定一个四边形是正方形，就要判定它既是______，又是________．具体判定方法如下：

对角线互相垂直的________是正方形；

对角线相等的________是正方形；

对角线互相垂直且相等的____________是正方形；

有一个角是直角的________是正方形；

有一组邻边相等的________是正方形．

布置作业

教材第25页习题1.8第2、3题.

板书设计

课题：1.3.2 正方形的判定

一、通过平行四边形判定

二、通过矩形判定

三、通过菱形判定

教学反思

1、在新教材中，课本只是一个载体，因此，本节课教师充分利用这个载体和学生已有的知识、经验，教学设计不拘泥于教材，由一般到特殊再到一般，符合学生的认知基础和认知规律，体现了新课标的观念，水到渠成，效果非常好。

2、本节课容量较大，但由于采用了电脑辅助教学手段，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，并且学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和创新意识。