华师大版九年级上册22.1 一元二次方程公开课教案及反思

导入新课

提问：

用公式法求下列方程的根:

师：用公式法解一元二次方程的一般步骤:

生：1)把方程化为一般形式确定a , b , c 的值

2)计算的值

3)带入求根公式x= 计算方程的根

学生解方程，老师给予订正，并一起回顾公式法解方程的步骤

通过复习，引出新问题，提高学生学习的积极性.

讲授新课

课件展示：

师：我们在推导一元二次方程求根公式的配方过程中，得到，只有当时，才能直接开平方，得，所以，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.

师：观察方程，我们发现有几种情况？

生：有三种

师：有哪三种呢？

生：当时，方程的右边是一个正数，方程有两个不相等的实数根：

生：当b2-4ac=0时，方程的右边是0，方程有两个相等的实数根：

生：当b2-4ac<0时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，负数没有平方根，所以，方程没有实数根

师：思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况

生：

师：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，通常用符号“Δ”来表示.那么总结一下Δ与根的关系吧

生： (1)当 Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根.

(2)当 Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根.

(3)当 Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根.

 师：反过来，对于方程

上面的结论能成立吗？

生：能成立的

(1)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则Δ＝b2－4ac>0.

(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，则Δ＝b2－4ac＝0.

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则Δ＝b2－4ac<0.

课件展示：

例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)       (2)        (3)4                 

师：总结一下一般步骤：

生：(1)化为一般式，确定 a，b，c的值.

  (2) 计算Δ的值，确定Δ的符号.

  (3)判别根的情况，得出结论

课件展示

试一试

已知关于x的方程                         

(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？

(3)当k取何值时，方程没有实数根？

学生配方，推导求根公式，讨论得出求根公式的三种情况，并总结出决定了根的情况

师生总结Δ与根的关系

学生解答，老师订正

学生自主解答

学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。

巩固所学知识，

培养学生分析归纳的能力.

培养学生发散思维，自己解决问题的能力

课堂练习

1、下列方程有两个相等的实数根的是(　　)

   A．x2＋x＋1＝0        B．4x2＋2x＋1＝0

   C．x2＋12x＋36＝0        D．x2＋x－2＝0

答案：C

2、若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)

  A．k＜5　               B．k＜5且k≠1

  C．k≤5且k≠1　       D．k＞5

 答案：B

3.已知关于x的一元二次方程x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为_______.

答案：-3

4．若关于x的方程k－4x－＝0有实数根，则k的取值范围是__________.

 答案： k≥-6

5．关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.

答案：

解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m2－1)＝4m＋5＞0，解得m＞.故m的取值范围是m>-.

(2)当m＝1时，原方程为x2＋3x＝0，即x(x＋3)＝0，解得x1＝0，∴x2＝－3.

拓展提高

已知关于x的一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0.

(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.

 答案：

(1)证明：Δ＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.

∵不论m为何值时，(m－2)2≥0，

∴Δ≥0，

∴方程总有实数根.

(2)解：解方程，得x＝，

∴x1＝，x2＝1.∵方程有两个不相等的正整数根，且m为整数，

∴m＝1或m＝2(不合题意，舍去)，

∴m＝1.

 中考链接

1. 【江苏淮安中考】若关于x的一元二次方程x2－2x－k＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是              (　　)

A．－1　B．0　C．1　 D．2

答案：B

2.【辽宁锦州中考】一元二次方程2x2－x＋1＝0的根的情况是 (　　)

A．有两个不相等的实数根　 

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根　           D．无法判断

 答案：C

学生自主解答，教师讲解答案。

学生自主解答，教师讲解答案。

练中考题型

通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。

可以照顾不层次的学生，调动学生学习积极性

让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.

课堂小结

学生归纳本节所学知识

回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。

板书

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，通常用符号“Δ”来表示.

2.判别式与根的情况

(1)当 Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根.

(2)当 Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根.

(3)当 Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根.