人教版高考物理一轮复习第13章振动波动第1节机械振动学案

第1节 机械振动

[高考备考指南]

第1节　机械振动

一、简谐运动的特征

1．简谐运动

(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。

(3)回复力

①定义：使物体返回到平衡位置的力。

②方向：总是指向平衡位置。

③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

2．简谐运动的两种模型

二、简谐运动的公式和图象

1．简谐运动的表达式

(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf，表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表运动的相位，φ代表初相位。

2．简谐运动的图象

(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图甲所示。

甲　　　　　　　　　乙

(2)从最大位置开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图乙所示。

三、受迫振动和共振

1．受迫振动

(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动。

(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。

2．共振

(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。

(2)条件：驱动力的频率等于固有频率。

(3)特征：共振时振幅最大。

(4)共振曲线(如图所示)。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。 (×)

(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。 (×)

(3)公式x＝Asin ωt说明是从平衡位置开始计时。 (√)

(4)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。 (×)

(5)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。 (√)

(6)物体受迫振动的频率与驱动力的频率无关。 (×)

2．做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不相同的物理量是(　　)

A．位移  B．速度  C．加速度  D．回复力

B　[简谐运动的位移是指由平衡位置指向物体所在位置的有向线段，物体经过同一位置时，运动位移一定相同；回复力产生加速度，回复力与位移满足F＝－kx的关系，只要位移相同，回复力一定相同，回复力产生的加速度也一定相同；经过同一位置，可能远离平衡位置，也可能靠近平衡位置，因此，速度的方向可能相反，故应选B。]

3．(2019·陕西西安市联考)下列关于简谐运动的说法正确的是(　　)

A．加速度第一次恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动

B．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同

C．一个全振动指的是动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程

D．位移减小时，加速度减小，速度增大

D　[加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程不是一次全振动，故A错误；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度方向可以与位移方向相同，也可以相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故B错误；一次全振动过程中，动能和势能均会有两次恢复为原来的大小，故C错误；当位移减小时，回复力减小，则加速度在减小，物体正在返回平衡位置，速度在增大，故D正确。]

4．如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆。下列说法不正确的是(　　)

A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同

B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2π

C．如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A

D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大

C　[某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度a＝＝－x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2π，而其他单摆都是受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C错误；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，D正确。]

5．(2019·江苏高考改编)一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的(　　)

A．动能增大   B．速度增大

C．回复力增大  D．机械能增大

C　[由简谐运动的特点可知，当偏角增大，摆球偏离平衡位置的速度减小，动能减小；当偏角增大，动能转化为重力势能，所以速度减小，故B错误；由回复力F＝－kx 可知，位移增大，回复力增大，故C正确；单摆做简谐运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，故D错误。]

简谐运动的特征　

1．如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是(　　)

A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同

B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同

C．振子在M、N两点加速度大小相等

D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动

C　[因M、N两点的速度大小相同，则M、N两点关于O点对称，故振子在M、N两点对平衡位置的位移大小相同，方向相反，选项B错误；根据F＝－kx可知，振子在M、N两点所受弹簧弹力大小相同，方向相反，选项A错误；由牛顿第二定律可知振子在M、N两点加速度大小相等，选项C正确；从M点到N点，由于弹力的大小不断变化，故振子先做变加速运动，后做变减速运动，选项D错误。]

2．一个弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置开始计时，经过3 s时，振子第一次到达P点，又经过2 s第二次经过P点，则该弹簧振子的振动周期可能为(　　)

A．32 s  B．16 s  C．8 s  D．4 s

B　[若从O点开始向右振动，按下面路线振动，作出示意图如图，则弹簧振子的振动周期为：T1＝4× s＝16 s；若振子从O点开始向左振动，则按下面路线振动，作出示意图如图，设从P到O的时间为t，则有：＋t＝，解得：t＝ s，则周期为：T＝4× s＝ s。故选项B正确，A、C、D错误。]

3．弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10 cm，由B→C运动时间为1 s，则(　　)

A．从B开始经过0.25 s，振子通过的路程是2.5 cm

B．经过两次全振动，振子通过的路程为80 cm

C．该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm

D．振动周期为2 s，振幅为10 cm

C　[由B→C运动时间为1 s，则周期T＝2 s，则从B开始经过0.25 s＝，振子通过的路程小于2.5 cm，选项A错误；一次全振动振子的路程为20 cm，则经过两次全振动，振子通过的路程为40 cm，选项B错误；由运动的对称性可知，该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm，选项C正确；振动周期为2 s，振幅为5 cm，选项D错误。]

简谐运动的“五个特征”

1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。

2．运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。

3．运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。

4．对称性特征

(1)相隔或T(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。

(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。

(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。

5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

简谐运动的公式和图象　

1．简谐运动的数学表达式

x＝Asin(ωt＋φ)

2．根据简谐运动图象可获取的信息

(1)确定振动的振幅A和周期T。(如图所示)

(2)可以确定振动物体在任一时刻的位移。

(3)确定各时刻质点的振动方向。判断方法：振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定。下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。

(4)比较各时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。

(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能越小。

[典例示法]　如图甲所示，一水平弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，取水平向右为正方向，其振动图象如图乙所示。由振动图象可知(　　)

甲

乙

A．t1时刻振子位于O点

B．t3时刻振子的速度为零

C．t2时刻振子的运动方向与t4时刻振子的运动方向相反

D．从t1时刻到t3时刻，振子运动的加速度逐渐减小

D　[由图乙知在t1时刻振子位于正向位移最大处即B点，故A错误；t3时刻振子位于平衡位置，所以此时速度最大，故B错误；由题意可知，t2时刻振子处于从B向O运动过程中，t4时刻振子处于从O到A的运动过程中，所以两时刻运动方向相同，故C错误；从t1时刻到t3时刻，振子从最大位移B处向平衡位置O处运动，所以加速度越来越小，速度越来越大，故D正确。]

对简谐运动图象的两点说明

(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示。

甲　　　　　　　　　　　乙

(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。

[跟进训练]

1．如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图象，下列判断正确的是(　　)

A．t＝2×10－3 s时刻纸盆中心的速度最大

B．t＝3×10－3 s时刻纸盆中心的加速度最大

C．在0～1×10－3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同

D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10－4cos 50πt(m)

C　[t＝2×10－3 s时刻在波谷位置，则纸盆中心的速度为零，选项A错误；t＝3×10－3 s时刻纸盆中心在平衡位置，此时的加速度为零，选项B错误；在0～1×10－3 s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向均向下，方向相同，选项C正确；因为ω＝＝ rad/s＝500 πrad/s则纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10－4cos 500 πt(m)，选项D错误。]

2．图(甲)所示为以O点为平衡位置、在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图(乙)为这个弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是(　　)

(甲)　　　　　　　　　　　(乙)

A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置

B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同

C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加

D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同

A　[由图知，若从平衡位置计时，则在t＝0.2 s时，弹簧振子运动到B位置，故A正确；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B错误；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，其动能越来越小，故C错误；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度大小相等，方向相反，故D错误。]

单摆及其周期公式　

1．对周期公式的理解

(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立。

(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，即l＝l线＋r球。

(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。

(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m和振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。

2．周期公式应用

(1)只要测出单摆摆长l和周期T，就可以根据g＝求当地重力加速度g。

(2)可以制作计时仪器。

3．单摆振动中的等效问题

(1)等效摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。

(2)等效重力加速度：①分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置(即平衡位置)；②计算摆球的视重(即平衡位置的拉力); ③利用g′＝求出等效重力加速度。

[题组训练]

1．甲、乙两个单摆的振动图象如图所示，根据振动图象可以断定(　　)

A．甲、乙两单摆振动的周期之比是3∶2

B．甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3

C．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆摆长之比是9∶4

D．若甲、乙两单摆摆长相同，在不同地点摆动，则甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4

D　[根据图象可知，甲和乙的周期之比为T甲∶T乙＝2∶3，故A项不符合题意；因为f＝，所以甲、乙的频率之比为f甲∶f乙＝3∶2，故B项不符合题意；根据单摆的周期公式可知T＝2π，同一地点，重力加速度相同，则甲、乙的摆长之比和周期的平方成正比，即为4∶9，故C项不符合题意；摆长相同，重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4，故D项符合题意。]

2．如图所示是甲、乙两个单摆在同一地点做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是(　　)

A．甲、乙两摆的振幅之比为1∶1

B．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1

C．甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等

D．t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零

D　[由图知，甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，则振幅之比为2∶1，故A错误；甲、乙两摆的周期分别为4 s、8 s，周期之比为1∶2。根据由单摆的周期公式T＝2π得，甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，故B错误；设摆角为θ，则摆球从最高点摆到最低点的过程中，由机械能守恒定律得：mgL(1－cos θ)＝mv2；摆球在最低点时向心加速度a＝＝2g(1－cos θ)，根据振幅和摆长关系，可知甲摆摆球的最大偏角比乙摆摆球的最大偏角大，所以甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定不等，故C错误；t＝2 s时，甲摆通过平衡位置，重力势能最小。乙摆经过最大位移处，动能为零，故D正确。]

3．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图所示，甲图中O点为单摆的悬点，现将小球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。图乙表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取10 m/s2)求：

甲　　　　　　　　　乙　　　

(1)单摆的周期和摆长；

(2)摆球的质量。

[解析]　(1)摆球受力分析如图所示：

小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，知：T＝0.4π s。

由单摆的周期公式：T＝2π

代入数据解得：L＝0.4 m。

(2)在最高点A，有：

Fmin＝mgcos α＝0.495 N

在最低点B，有：Fmax－mg＝m

其中Fmax＝0.510 N

从A到B，小球机械能守恒，有：mgL(1－cos α)＝mv2

联立并代入数据得：m＝0.05 kg。

[答案]　(1)0.4π s　0.4 m　(2)0.05 kg

受迫振动、共振　

自由振动、受迫振动和共振的关系比较

[题组训练]

1．如图所示，A、B、C、D、E五个摆悬挂于同一根绷紧的水平绳上，A是摆球质量较大的摆，让它摆动后带动其他摆运动。稳定后，下列结论正确的是(　　)

A．其它各摆的振动周期与A摆的振动周期相同

B．其它各摆的振幅都相等

C．其它各摆的振幅不同，D摆的振幅最大

D．其它各摆的振动周期不同，E摆周期最大

A　[A摆摆动，其余各摆也摆动起来，它们均做受迫振动，则它们的振动周期均等于A摆的摆动周期，而由于A、E摆长相同，这两个摆的固有周期相同，则E摆出现共振现象，振幅达到最大。故选A。]

2．半径为R的光滑球面，已知圆弧AB≪R，且A、B等高，其中B点和圆弧最低点之间由光滑斜面相连，现有三个小球，A球从A点从静止释放沿圆弧下滑，B球从B点从静止释放沿斜面下滑，C球从圆心O点由静止释放，若三个小球同时释放，则下列说法正确的是(　　)

A．A球最先运动到圆弧最低点

B．B球最先运动到圆弧最低点

C．C球最先运动到圆弧最低点

D．三个小球同时到达圆弧最低点

C　[A球是等效单摆，A球从静止运动到最低点的时间tA＝＝×2π＝设弦轨道的倾角为θ，对于B球，有2Rcos(90°－θ)＝gsin θ·t可得tB＝2，C球做自由落体运动，有R＝gt可得tC＝则有tB>tA>tC则C球最先运动到圆弧最低点，故A、B、D错误，C正确。]