3.3指数函数 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 设函数的最小值为，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
- 若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
- 若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 将甲桶中的水缓慢注入空的乙桶中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设后甲桶和乙桶的水量相等．若再过甲桶中的水有，则的值为 ( )
A. B. C. D.
- 已知且，且在区间上有恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
- 若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 已知函数为常数的图象经过点，则的值域为( )
A. B. C. D.
- 设，那么( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 函数，则下列说法正确的有( )
A.
B. ，都有
C. 函数的值域为
D. 不等式的解集为
- 多选已知实数，满足等式，则下列关系式中，可能成立的关系式有( )
A. B. C. D.
- 对于，下列四个不等式中成立的是( )
A. B.
C. D.
- 多选已知函数则下列判断中错误的是( )
A. 的值域为
B. 的图象与直线有两个交点
C. 是单调函数
D. 是偶函数
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 函数上的最大值和最小值之和为，则的值为
- 不等式的解集为________．
- 不等式恒成立，则的取值范围是_____
- 以下说法中正确的是 ．
函数在区间上单调递减；
函数的图象过定点；
若是函数的零点，且，则；
方程的解是
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
已知定义在上的函数是奇函数．
求实数的值；
解方程；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
- 本小题分
已知函数请在方程的解，不等式的解集，函数的值域，这三个结论中任选一个补充在中的横线上，并作解答．
若，求________；
若，恒成立，求实数的取值范围．
注：若选择多个结论分别解答，则按第一个解答计分．
- 本小题分
已知函数
若，求的值
记在区间上的最小值为．
求的解析式
若对于恒成立，求的范围．
- 本小题分
已知，求函数的最大值和最小值．
已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上．求不等式的解集．
- 本小题分
已知函数的图象过点．
判断函数的奇偶性，并说明理由；
若，求实数的取值范围．
- 本小题分
已知且满足不等式．
求实数的取值范围．
求不等式．
若函数在区间有最小值为，求实数值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查由函数的最值求参，考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．
运用指数函数的单调性和二次函数的单调性，分别求出当时，当时，函数的值域，由题意可得的不等式，计算即可得到．
【解答】
解：当时，，
当时，取得最小值；
当时，，
由二次函数的性质可知在递减，
则，
由题意可得，
解得．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的性质及一元二次不等式的解法，属于中档题．
根据题意可得，构造函数，则为上的单调递增函数，进而，解一元二次不等式即可．
【解答】
解：，
，
构造函数，且在上单调递增，在上单调递减；
则为上的单调递增函数，
由，可得，
根据在上单调递增，得，
即，
解得．
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数不等式，考查指数函数的单调性，二次函数恒成立问题，中档题．
根据指数函数的单调性，将给定不等式等价转化为恒成立，结合二次函数的图象和性质得到的取值范围．
【解答】
解：原式变形为：恒成立，
函数是上的单调递增函数，
恒成立，
即恒成立，
，
解得．
故选B．
4.【答案】
【解析】本题主要考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．
由题意，函数满足，解出再根据，建立关于的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出的值，由即可得到．
解：后甲桶和乙桶的水量相等，
函数，满足
可得，
因此，当后甲桶中的水只有升，
即，
即，
即为，
解之得，
经过了分钟，即．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数不等式的恒成立问题，考查指数函数的性质和指数不等式的问题．
题设等价于在区间上，讨论和，求得，得到关于的不等式，即可求解出结果．
【解答】
解：“在区间上，恒成立”等价于“在区间上，”
当时，，即，解得，故；
当时，，即，解得，故．
综上，实数的取值范围是．
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数不等式，考查指数函数的单调性，二次函数恒成立问题，中档题．
根据指数函数的单调性，将给定不等式等价转化为恒成立，结合二次函数的图象和性质得到的取值范围．
【解答】
解：原式变形为：恒成立，
函数是上的单调递增函数，
恒成立，
即恒成立，
，
解得．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查指数函数的性质，属于中档题．
由给出的条件求出的值，利用指数函数的单调性求出函数的值域．
【解答】
解：由题意得，则，
所以函数，
因为，所以，
所以，则函数的值域为，
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
利用指数函数底数的大小与单调性的关系去判断．
本题考查指数函数的图象和性质，重点考查函数的单调性与底数的对应关系．，指数函数递增，，指数函数递减．
【解答】
解：因为是单调递减函数，
又，
．
故选：
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的性质，函数的奇偶性和单调性，函数的值域求解，属于中档题．
求解函数的奇偶性和单调性，逐一分析各选项即可．
【解答】
解：由题意，函数的定义域为，
，故函数为奇函数，故A正确；
又，
可知在上单调递减，故B错误；
，
，
即函数的值域为，故C正确；
由得 ，故D正确，
故选ACD．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了不等式的性质，同时结合函数单调性对不等关系进行了综合判断，属于中档题．
根据题意，由，得到，再利用指数和对数函数的单调性可判断大小．
【解答】
解：，，从而，
在定义域上是减函数，
，故A错误，B正确；
又，
则在定义域上是减函数，
，故C错误，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】函数的图象如图所示，由图可知，的值域为，A错误，，显然错误，的图象与直线有两个交点，B正确．
13.【答案】
【解析】
【分析】
结合函数与的单调性可知在单调，从而可得函数在上的最值分别为，，代入可求
本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的简单运用，利用整体思想求解函数的最值，试题比较容易．
【解答】
解：与具有相同的单调性．
在上单调，
，即，
化简得，解得
故答案为：
14.【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查利用指数函数单调性解不等式，属基础题目．
【解答】
解：不等式可化为，因为函数为增函数，
所以，移项、通分整理为，
此不等式等价于或
解得或所以原不等式的解集为，．
答案：，．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数单调性的应用、考查利用单调性解不等式、考查不等式恒成立问题本题从形式上看是一个指数复合不等式，外层是指数型的函数，此类不等式的求解，一般借助指数的单调性将其转化为其它不等式，再进行探究，本题可借助这个函数的单调性转化，转化后不等式变成了一个二次不等式，再由二次函数的性质对其进行转化求解即可．
【解答】
解：函数是减函数，
不等式恒成立即为恒成立，
恒成立，
，
即，即，
解得，
故的取值范围是．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题以命题的真假判断为载体考查了指数函数，对数函数，反比例函数的图象和性质，是函数性质与逻辑的简单综合应用，属于中档题．
根据反比例函数函数的单调性可判断的真假；根据函数，的图象过定点为当时，，恒成立，可判断的真假，举出反例，可判断的真假，根据指数运算性质和对数运算性质，解方程可判断的真假．
【解答】
解：函数在每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，
例如：，而，不具有单调递减的性质，故错误；
当时，，所以函数的图象过定点是正确的；
如果中也存在一个为零点时，就不符合，故错误；
，故正确．
故答案为．
17.【答案】解：，经检验时，对任意，都有，故．
由得，令，得，．
．
因为单调递增，所以单调递减，即单调递减
得．
因为是奇函数，所以．
所以在上恒成立
令，得，，．
令，在单调递减，在单调递增．
所以．
【解析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．属于中等题．
利用奇函数定义，在中的运用特殊值求的值；
换元法令得，即可解方程，
首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为在上恒成立利用换元法得到关于的函数，最后由函数单调行求出的取值范围．
18.【答案】解：若，
选：函数，
又因为，
所以，即，
故方程的解为；
选：函数，
又因为，所以，得，
故不等式解集为；
选：，
又因为，则当即时，，
故函数的值域为．
因为，恒成立，即在上，恒成立．
，，
，当且仅当，即时取等号，
所以，即．
故实数的取值范围为．
【解析】本题考查指数函数的图象与性质，考查指数方程与指数不等式，考查函数的值域以及不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，属于中档题．
若，选：，解得即可；
选：，解不等式即可；
选：，即可求解值域；
问题等价于在上，恒成立，利用基本不等式求最值，进而求实数的范围．
19.【答案】解：所以；
，令，则，
所以，的图象开口向上，对称轴为，
当时，；
当时，；
当时，．
所以．
函数的图象如图所示，
从函数的图象和解析式可以看出函数单调递减，
因为对于恒成立，
所以对于恒成立，
令，的图象开口向下，对称轴为，所以当时，取最大值．
所以故的取值范围为：．
【解析】本题考查指对数方程与指数不等式，指数函数及其性质，函数的最值，不等式的恒成立问题，属于中档题．
解方程即得解；
令，则，所以，对分三种情况讨论得解；从函数的图象和解析式可以看出函数单调递减，等价于对于恒成立，利用一元二次函数性质即得解．
20.【答案】Ⅰ解：由得．
令，则，
所以．
当，即，时，；
当，即，时，．
Ⅱ解：的图象恒过定点，
由，解得：．
所以．
所以不等式变为：，解得：．
所以不等式的解集为：．
【解析】Ⅰ本题考查利用换元法求解二次函数的最值问题，属于中档题．
设，则，，进而可求得结果；
Ⅱ本题考查指、对数函数的性质，考查不等式的求解，属于中档题．
由条件可得，因而，所以，即可求解出结果．
21.【答案】解：因为的图象过点，
所以，解得，
所以，
函数为奇函数．
理由如下：的定义域为，
因为
，
所以是奇函数；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得，
即的取值范围是．
【解析】此题考查函数的解析式，考查函数奇偶性的判断，考查利用指数函数的单调性解不等式，属于中档题．
由已知可得，解得，得出解析式，的定义域为，因为， 所以是奇函数；
利用，可得， 所以， 解得．
22.【答案】解：，
，即，
，
又，
．
由知，
．
等价于
即，
，
即不等式的解集为
，
函数在区间上为减函数，
当时，有最小值为，
即，
，
解得或舍去，
所以．
【解析】本题指数函数和对数函数的性质，考查了计算能力，属于中档题．
根据指数函数的单调性可得，结合即可求实数的取值范围；
根据对数函数的单调性可列出不等式组，求解即可；
根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出的值．
