专题08 共斜边拼接模型-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

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专题08 共斜边拼接模型（解析版）一、解题技巧归纳总结1． 共斜边拼接模型如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径.二、典型例题例1.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（     ）A.        B.        C.        D.【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示. ∴外接球的半径.故.选C.例2.三棱锥中，平面平面， ，,，则三棱锥的外接球的半径为      【解析】是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为.三、配套练习1．在梯形中，，，，，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】如图：，，，，取的中点，的中点，连结，，平面平面，平面，，，，，，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为．故选：．2．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角．则四面体的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】根据题意，画图如下： 在中，作，则为中点，且根据四边形是正方形，可知．点即为四面体的外接球的球心，，球．故选：．3．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】如图，因为平面平面（折成直二面角），所以平面，平面，得，．取的中点，则．于是外接球的球心是，．而．所以半径．于是外接球的表面积为．故选：．4．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】平行四边形中，，，，沿折成直二面角，平面平面三棱锥的外接球的直径为，外接球的半径为1，故表面积是．故选：．5．如图，在平面四边形中，，，．将该四边形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】如图，因为平面平面，，则平面，从而．因为，则平面，从而，所以是外接球的直径．在中，，则球半径．所以外接球的体积．故选：．6．矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】由于和都是直角三角形，且是公共的斜边，所以，线段的中点到点、、、的距离都相等，因此，为四面体的外接球的直径，且，则外接球的半径为5，因此，四面体的外接球的表面积为，故选：．7．如图，在平行四边形中，，，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是　　A． B． C． D．【解析】平行四边形中，，，沿折成直二面角，平面，平面，三棱锥的外接球的直径为，且外接球的半径为1，表面积是．故选：．8．如图所示，在平行四边形中，，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是　　A． B． C． D．【解析】根据题意，可知折叠后的三棱锥如右图所示．，，由此可得的中点即为外接球的球心又二面角是直二面角，即平面平面，且平面，可得是以为斜边的直角三角形中，从而三棱锥的外接球的表面积故选：．9．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角一，且，则三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】平行四边形中，，，沿折成直二面角，将四边形折起成直二面角一，平面平面三棱锥的外接球的直径为，，，外接球的半径为1，故表面积是．故选：．10．在平行四边形中，，且，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是　　A． B． C． D．【解析】由题意可知，折成直二面角后，为外接球直径，因为，所以，，；故选：．11．在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线上，且其半径为长度的一半，则．故选：．12．在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】平行四边形中，，，沿折成直二面角，平面平面，三棱锥的外接球的直径为，外接球的半径为1，故表面积是．故选：．13．如图，二面角满足半平面，半平面内有一点（不在上），半平面内有一点（不在上），，在直线的射影分别为，，不重合），，，则三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】设的中点，二面角满足半平面，，在直线的射影分别为，，不重合），，，面，面；故；；三棱锥外接球的表面积为：；故答案为：．14．已知等边三角形的边长为8，为边的中点，沿将折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　【解析】如下图所示，折叠前，由于时等边三角形，为的中点，则，折叠后，则有，，，平面，二面角为直二面角，，，则二面角的平面角为，且，，的外接圆直径为，所以，三棱锥的外接球直径为，则，因此，三棱锥的外接球的表面积为．15．如图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为　　．【解析】四边形中，，，；沿折成直二面角，如图所示；平面，平面，，；三棱锥的外接球的直径为，且外接球的半径为，它的体积为．故答案为：．16．在矩形中，已知，，将该矩形沿对角线折成直二面角，则四面体的外接球的体积为　　．【解析】矩形中，，，，设交与，则是和的外心，球心一定在过且垂直于的直线上，也在过且垂直于的直线上，这两条直线只有一个交点因此球半径，四面体的外接球的体积：．故答案为：．17．将长宽分别为3和4的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为　　【解析】因为球的球心到四面体四个顶点的距离相等，所以球心到任意一个直角三角形的三个顶点的距离相等；所以球心应当在经过直角三角形斜边中点并垂直于直角三角形的直线上，这样就得到了两条直线，它们的交点就是两个直角三角形斜边的中点，所以球半径就是所以四面体的外接球的表面积为：故答案为：18．把边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为　　．【解析】由题意，球的直径恰好是正方形对角线，所以球的体积．故答案为：．19．在平行四边形中，，若将沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】平行四边形中，，，，沿折成直二面角，平面，平面，三棱锥的外接球的直径为，且外接球的表面积是．故答案为：．