专题10 垂面模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题10 垂面模型（解析版）

一、解题技巧归纳总结

垂面模型

如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：

（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．

（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．

（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．

（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

二、典型例题

例1.已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．

【解析】由题意知的中点为 外接圆的圆心，且平面平面

过 作面的垂线，则垂线 一定在面 内．

根据球的性质，球心一定在垂线 上，

球心一定在平面 内，且球心也是 外接圆的圆心．

在 中，由余弦定理得，，

由正弦定理得：，解得，

三棱锥的外接球的表面积．

故答案为：．

例2.已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．

【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，

根据球的性质，球心一定在垂线，

球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，

在中，由余弦定理得，，

由正弦定理得：，解得，

三棱锥外接球的表面积为，

故答案为：．

例3.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　．

【解析】如图，设的外接圆的圆心为

连接，，，连接．

由题意可得，且，．

因为平面平面，且，

所以平面，且．

设为三棱锥外接球的球心，

连接，，，过作，垂足为，

则外接球的半径满足，

即，解得，

从而，故三棱锥外接球的表面积为．

故答案为：．

例4．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为　　．

【解析】取的中点，连接，，

在等边三角形中，，

在等边三角形中，，

由平面平面，，平面平面，

可得平面，即有，

为等腰直角三角形，

设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，

底面的中心为，面的外心为，

则，，

在直角三角形中，．

而，解得，则，解得，

故答案为：．

三、配套练习

1．在边长为菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则　　

A． B． C． D．3

【解析】取的中点，连接，，

在等边三角形中，，

在等边三角形中，，

由平面平面，，平面平面，

可得平面，即有，

为等腰直角三角形，

设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，

底面的中心为，

在直角三角形中，，

而，解得，

则，解得，

故选：．

2．在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】如图，过点 作 于， 为 的中点，

设 的外心是，半径是，连接，，，

由正弦定理得，

则，

为 的中点，，

，所以，

因为平面平面， 于，平面平面，

则平面，所以直线 与平面 所成的角是，则

，即，

因为，所以

，则，故，

设三棱锥 外接球球心是，

连接，，，过 作 于，

则平面，于是，从而 是矩形，

所以外接球半径 满足

，

解得．

所以外接球的表面积为．

故选：．

3．已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则　　

A． B． C． D．

【解析】设外接球球心，半径，由题意可得，，解可得，

根据题意可得为正三角形的中心，

因为，所以，，

所以正三角形的边长为，

由可得，

因为平面平面，所以，

所以．

故选：．

4．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】取的中点，连接，

中，，，，，

设的中心为，球心为，则，

设到平面的距离为，则，

，，

四棱锥的外接球的表面积为．

故选：．

5．如图所示，已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，，则多面体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】设球心到平面的距离为，则

所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，

到平面的距离为，

，

，，

多面体的外接球的表面积为．

故选：．

6．在正方形中，，沿着对角线翻折，使得平面平面，得到三棱锥，若球为三棱锥的外接球，则球的体积与三棱锥的体积之比为　　

A． B． C． D．

【解析】由题意，三棱锥的外接球的球心为的中点，半径为，球的体积．

三棱锥的体积，

球的体积与三棱锥的体积之比为．

故选：．

7．已知四棱锥一中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】取的中点，

平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，

四棱锥的外接球的球心为正方形的中心，设半径为，

则，

，

四棱锥的外接球的表面积为．

故选：．

8．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几

何体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】在三角形中，，，由余弦定理可得，

而在三角形中，，，，即为直角三角形，且为斜边，

因为平面平面，所以几何体的外接球的球心为为三角形 的外接圆的圆心，设外接球的半径为，则，即，

所以外接球的表面积，

故选：．

9．在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】如图，取中点，连接，，

平面平面，

和都是边长为的等边三角形，

平面，

，

设过平面，平面的中心，且与垂直二平面的直线交于，

可知即为外接球球心，

易知，，

得，

，

故选：．

10．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】如下图所示，

，，又，，，

又平面平面，平面平面，平面，平面．

，所以，直角的外接圆直径为，

所以，三棱锥的外接球直径为．

因此，三棱锥的外接球的表面积为．

故选：．

11．已知三棱锥中，，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则当平面平面时，三棱锥的表面积等于　　

A． B． C． D．

【解析】如图，

取中点，连接，，

由，，，

可得，即为三棱锥的外接球的球心，

半径为．

由三棱锥的外接球的表面积为，得．

则当平面平面时，；

．

三棱锥的表面积．

故选：．

12．在三棱锥中，平面平面，，，，若此三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　

A．7 B．12 C．6 D．

【解析】根据题意，设三棱锥外接球的半径为，

三棱锥的外接球球心为，

的外心为，的外接圆半径为，

取的中点为，过作，

则平面，平面，

如图，连结，，则，

设，则，

由，解得，

在中，由正弦正理得，

，解得，

在中，，解得，，，

若三棱锥的体积最大，则只需的面积最大，

在中，，

，

解得，

，

三棱锥的体积的最大值：

．

故选：．

13．如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】由题意，多面体为棱长为的正方体，切去一个角，

多面体的外接球的直径为，半径为，

多面体的外接球的表面积为．

故选：．

14．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，，平面平面，则三棱锥的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】三棱锥中，是边长为的正三角形，

，平面平面，

，，

取中点，连结，，则，，

，

以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，0，，

，1，，

设球心，，，则，

，

解得，，，，

三棱锥的外接球的体积：

．

故选：．

15．在三棱锥中，是等边三角形，平面平面．若该三棱锥外接球的表面积为，且球心到平面的距离为，则三棱锥的体积的最大值为　　

A． B． C．27 D．81

【解析】如图，

取等边三角形的中心，过作三角形的垂线，截去．

则为三棱锥外接球的球心，

设外接球半径为，由，得．

即，．

则，可得，过作平面，

则为三角形的外心，

连接并延长，角于，则为的中点，

要使三棱锥的体积最大，则共线，即为等边三角形，

此时三棱锥的高为．

三棱锥的体积的最大值为．

故选：．

16．在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，

如图所示：是边长为6的正三角形，

所以的中心到中点的距离为，

所以，

所以，

故选：．

17．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】如图，

取中点，连接并延长至的外心，

在中，由，，可得，

则，又，，则为以为斜边的直角三角形，

则中点为的外心，

平面平面，过作平面的垂线，故作平面的垂线，两垂线相交于，

为空间四边形的外接球的球心．

在中，由，得．

，则，

空间四边形的外接球的半径．

空间四边形的外接球的表面积．

故选：．

18．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】在边长为2的菱形中，；

如图，

由已知可得，与均为等边三角形，

取中点，连接，，则，

；

二面角为直二面角，则平面，

分别取与的外心，，过，分别作两面的垂线，相交于，

则为三棱锥的外接球的球心，

由与均为等边三角形且边长为2，

可得．

．

．

三棱锥的外接球的表面积为．

故选：．

19．在三棱锥中，与都是正三角形，平面平面，若该三棱锥的外接球的体积为，则边长为　　

A． B． C． D．6

【解析】三棱锥中，过的中心作平面，

过的中心作平面，、交于点，

则是三棱锥的外接球球心，连接，则是外接球的半径；

由该三棱锥的外接球体积为，

；

设的边长为，

，

，

，

即，

解得．

故选：．

20．在三棱锥中，与都是边长为6的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】取，中点分别为，，连接，，，

由题意知，，，

易知三棱锥的外接球球心在线段上，

连接，，有，，

，，，

三棱锥的外接球的体积为．

故选：．

21．把边长为3的正方沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】将边长为1的正方形，沿对角线把折起，使平面平面，则，；

三棱锥的外接球直径为，

外接球的表面积为．

故选：．

22．已知空间四边形，，，，且平面平面，则空间四边形的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】

借助长方体作出空间四边形，取中点，

在等腰中，，，

可求得，，

又，

为正三角形，

外接球球心在过其中心垂直于平面的直线上，

如图：在中，求得，

，，

设，

则，

在中，，

在中，，

由列方程解得，

从而即外接球半径，

外接球面积，

故选：．

23．如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】设矩形对角线的交点为0，则由矩形对角线互相平分，可知．

点到四面体的四个顶点，，，的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图所示．

外接球的半径5．

外接球的体积．

故选：．

24．在三棱锥中，，平面平面，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，的中点为，

则点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，四边形为正方形，

由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时，与是等边三角形，

设，则，，，

由，解得，

，，，，

则球的半径，

所求外接球的表面积为，

故选：．