专题13 圆锥圆柱圆台模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题13圆锥圆柱圆台模型（解析版）

一、解题技巧归纳总结

1．球内接圆锥

如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为.通常在中，由勾股定理建立方程来计算.如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.

由图、图可知，或，故，所以.

2．球内接圆柱

如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足.

3．球内接圆台

，其中分别为圆台的上底面、下底面、高.

二、典型例题

例1.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（     ）

A． B． C． D．以上都不对

【解析】易知该几何体是圆锥，其外接球的球心恰好是正三角形的外心，因而半径为，

故选：C．

例2.半径为的球中有一个内接圆柱，圆柱的侧面积为，则圆柱的体积为    .

【解析】如图，设圆柱的底面圆半径为，高为，则，

解得，或.

当时，圆柱的体积；

当时，圆柱的体积，故答案为或.

例3.已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为　　．

【解析】设外接球的半径为，几何体的轴截面如图：

，，

且，得，

解得，球的表面积为．

故答案为：．

三、配套练习

1．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】由题意，圆锥轴截面的顶角为，设该圆锥的底面圆心为，球的半径为，则，

由勾股定理可得，，

球的表面积为．

故选：．

2．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆，

且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，

由题意的半径为，

的边长为，

圆锥的底面半径为，高为3，

．

故选：．

3．已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为，则该圆锥的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】设圆锥的底面半径是，母线长为，

圆锥的侧面积是其底面积的2倍，

，解得，则圆锥的轴截面是正三角形，

圆锥的外接球的表面积为，则外接球的半径，

且外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心，三角形的高是，

，解得，则圆锥的高为3，

该圆锥的体积，

故选：．

4．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是　　

A． B． C． D．

【解析】设外接球半径为，球心为，圆台较小底面圆的圆心为，

则：，

而，

故，，

，

故选：．

5．一个圆柱被一个平面截成体积相等的两部分几何体，如图，其中一部分几何体的主视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2的圆，则该圆柱外接球的表面积是　　

A．8 B． C． D．

【解析】根据几何体的三视图：

转换为几何体为圆柱的一半，

故：圆柱的外接球的半径为：，

故球的表面积为：．

故选：

故选：．

6．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的外接球表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】如图，

设圆柱的底面半径为，母线长为，

则，即．

该圆柱的外接球的半径．

该圆柱的外接球表面积为．

故选：．

7．若一个圆柱的表面积为，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为　　

A． B． C． D．

【解析】设圆柱的底面半径为，高为，则，则．

设该圆柱的外接球的半径为，则，当且仅当，即时，等号成立．

故该圆柱的外接球的表面积的最小值为．

故选：．

8．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的　　

A．倍 B．2倍 C．倍 D．3倍

【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球的半径为．

则，

圆锥的母线与底面所成角为．

圆锥的高为，母线长，

圆锥的侧面积为，

，

化简得：．

故选：．

9．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是其底面半径的　　倍

A． B． C．4 D．6

【解析】设圆锥与圆柱的底面半径为，

圆柱的高为，

则圆柱的外接球的表面积是，

圆锥的母线与底面所成角为，

圆锥的母线长为，

故圆锥的侧面积是，

由题意得：，

故，即

故选：．

10．圆柱的底面直径和母线长均为2，则此圆柱的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】圆柱的底面半径与母线的一半都是1，圆柱外接球的半径为：．

圆柱的外接球的表面积为：．

故选：．

11．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为，高为的圆柱，上面是一个底面积为，高为的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，

其外接球的直径是，

设圆柱的底面圆半径为，母线长为，

则，解得，

又，

，

解得，

外接球的半径为，

外接球的体积为．

故选：．

二．填空题（共12小题）

12．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥外接球的体积是　　．

【解析】如图，

是等边三角形，其外接圆的半径就是圆锥外接球的半径，

的边长是2，高，外接圆的半径是．

故此圆锥外接球的体积为，

故答案为．

13．已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为　　．

【解析】依题意得，圆锥底面半径，高．

设圆锥外接球半径为，则，

即，解得：．

外接球的表面积为．

故答案为：．

14．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的外接球的表面积是　　．

【解析】圆锥的母线长为2，高为，

该圆锥的底面半径为，

由题意，圆锥轴截面的顶角为，

设该圆锥的底面圆心为，球的半径为，

由勾股定理可得，

解得，

球的表面积为．

故答案为：．

15．一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为　　．

【解析】如图，设，则．

设，则底面圆的直径为，

该圆锥的侧面积为，解得，

高．

．

设圆锥外接球的半径为，所以，解得，

则外接球的表面积为．

故答案为：．

16．已知圆锥如图所示，底面半径为，母线长为，则此圆锥的外接球的表面积为　　．

【解析】由圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在上，

设球心为，球的半径为，则，圆，

由底面半径为，母线长为，得，

，，则有．

解得，则．

故答案为：．

17．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是　　．

【解析】

如图，设母线长为，

，

，

，

，

，

延长使，

则为外接球球心，半径为4，

表面积为，

故答案为：．

18．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为　　．

【解析】圆柱的底面半径为2，则底面直径为4，

又圆柱的高为2，

则圆柱的轴截面是边长分别为4和2的矩形，

如图：

则圆柱的外接球的半径为．

该圆柱的外接球的表面积为．

故答案为：．

19．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为　　

【解析】设正三棱锥的底面边长为，高为，如图所示：

则圆柱高为，底面圆半径为，

利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径．

由，可求得．

设正三棱锥的外接球的半径为，

则球心到底面距离为，，

利用勾股定理，

可得，故，

故答案为：．

20．将一个长为，宽为2的矩形纸板，围成一个轴截面为正方形的圆柱的侧面，则圆柱外接球的体积为　　．

【解析】由题意知，围成圆柱的底面圆周长为，则底面圆半径为，

且圆柱的高为2，则圆柱外接球的直径为，

所以，

所以外接球的体积为．

故答案为：．

21．如图，将一个圆柱等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为　　，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为　　．

【解析】设圆柱的底面半径为，高，外接球半径，则即，

所以圆柱的侧面积为，

即，当且仅当时取等号，

此时外接球的表面积最小．

故答案为：；．

22．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的　　倍．

【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球半径为，

则；

由母线长为，

所以圆锥的高为，

所以圆锥的侧面积为，

即，

化简得，

所以，

求得圆柱的高与底面半径的比为．

故答案为：．