专题01 长方体模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题01 长方体模型（解析版）

一、解题技巧归纳总结

1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

3．补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．

（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1          图2             图3          图4

二、典型例题

例1.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【解析】设正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：，即；

所以外接球的表面积为：．

故选：C．

例2.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为　      　．      

【解析】由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．

正四棱柱的对角线的长为球的直径，

现正四棱柱底面边长为，

设正四棱柱的高为，

，

解得，

那么该棱柱的表面积为．

故答案为：

例3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为          ．           

【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，

即，

由．

故答案为：.

例4.已知三棱锥的顶点都在同一个球面上（球，且，，当三棱锥的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球的体积的比值是　    　．

【解析】由题意三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，三棱锥的三个侧面的面积之和最大，三棱锥的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：

所以球的直径是4，半径为2，

所以三棱锥的体积，球的体积：，

所以该三棱锥的体积与球的体积的比值是．

故答案为：．

三、配套练习

1．张衡年年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为　　

A．30 B． C． D．36

【解析】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，

正方体的外接球半径满足：，则，

由题意知：，

所以，，

该正方体的外接球的表面积为，

又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，

所以，

所以外接球的表面积为．

故选：．

2．棱长为2的正方体的外接球的体积为　　

A．8 B． C． D．

【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，

所以球的直径为：

所以球的半径为：，

正方体的外接球的体积．

故选：．

3．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的表面积为　　

A． B． C． D．32

【解析】正方体外接球的体积是，则外接球的半径，

所以正方体的对角线的长为4，棱长等于，

所以正方体的表面积为，

故选：．

4．已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的体积是　　

A． B． C． D．

【解析】正方体的外接球的体积是，

正方体的外接球的半径，

设这个正方体的棱长为，则，

解得，

这个正方体的体积．

故选：．

5．已知长方体的表面积为208，，则该长方体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】设长方体的三条棱长分别为，，．

由题意可得：，

．

，

设该长方体的外接球的半径为，

则．

其表面积．

故选：．

6．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】在长方体中，，与平面所成的角为，

平面，是与平面所成的角，，

，，，

该长方体的外接球的半径：

，

该长方体的外接球的表面积为：

．

故选：．

7．在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】由题意可知，长方体的对角线长为，

则该长方体的外接球的半径为，

因此，该长方体的外接球的表面积为．

故选：．

8．已知长方体的体积，，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解析】设，，由于，所以．

根据长方体的对称性可知四面体的外接球的即为长方体的外接球，

所以，

所以（当且仅当，等号成立）．

故选：．

9．若正方体的外接球的体积为，则此正方体的棱长为　2　．

【解析】设球的半径为，则，

解得：．

另设正方体的棱长为，则，

解得．

故答案为：2．

10．若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为　　．

【解析】正方体的表面积为6，正方体的棱长为1，体对角线的长度为，

外接球的直径为，

所以外接球的体积为，

故答案为：．

11．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的体积为　8　．

【解析】设正方体的棱长为，且正方体外接球的直径为，

则，

解得；

所以外接球的体积为

，

解得，

所以该正方体的体积为

．

故答案为：8．

12．正方体的棱长为，则此正方体的外接球的体积为　　．

【解析】正方体的棱长为，

正方体的对角线长为，

则此正方体的外接球的半径为3，

此正方体的外接球的体积为．

故答案为：．

13．将一个长宽分别，的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为　　．

【解析】设减去的正方形边长为，

其外接球直径的平方

求导得

因为有属于

所以

故答案为：．

14．如图，长方体中，其中，，外接球球心为点，外接球体积为，若的最小值为，则，两点的球面距离为　　．

【解析】设、两点在该球面上的球面距离为，

外接球体积为，，

球的直径即为长方体的对角线长，

即，

若的最小值为，，

在等腰三角形中，

球心角，

利用球面距离公式得出：

故答案为：．

15．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为　　．

【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，，

正四棱柱的外接球半径为，

当且仅当时，半径的最小值，

外接球的表面积的最小值为．

故答案为．