专题04 直棱柱模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题04 直棱柱模型（解析版）

一、解题技巧归纳总结

1．直棱柱模型：

如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1                        图2                         图3

第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；

第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：，解出

二、典型例题

例1.正三棱柱内接于半径为2的球，若，两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为　      ．

【解析】正三棱柱内接于半径为2的

又，两点的球面距离为，故，

又是等腰直角三角形，，则的外接圆半径为，

则点到平面的距离为，

正三棱柱高，又的面积，

正三棱柱的体积．

故答案为：．

例2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于　　．

【解析】设底面三角形的外心是，，

在中，，

可得

，

由正弦定理，，可得外接圆半径，

设此圆圆心为，球心为，在中，

易得球半径，

故此球的表面积为

故答案为：．

例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为      .

【解析】设正六边形边长为，高为，底面外接圆的半径为，则，

底面积为，， 解得，

代入，解得，所以球的体积为.

三、配套练习

1．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】由俯视图是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，

故底面外接圆半径，

由主视图可得几何体的高为2，

故球心到底面的距离，

故球半径，

故该直三棱柱外接球的表面积为，

故选：．

2．在直三棱柱中，，，，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为　　

A．624 B．576 C．672 D．720

【解析】在直三棱柱中，，，，

，

构造长方体，

长方体的外接球就是直三棱柱的外接球，

直三棱柱外接球的半径为13，

，，

直三棱柱的表面积为：

．

故选：．

3．在直三棱柱中．侧棱长为，，则此三棱柱的外接球的半径　　

A．1 B． C．2 D．4

【解析】在直三棱柱中．侧棱长为，，

取上底和下底的中心分别为、，

则的中点为三棱柱的外接球的球心，

为三棱柱的外接球的半径，

，，

．

此三棱柱的外接球的半径．

故选：．

4．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】该直三棱柱的底面外接圆直径为，

所以，外接球的直径为，则，

因此，该三棱柱的外接球的体积为．

故选：．

5．已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】由题意可知直三棱柱中，底面小圆的半径为，

由正弦定理得到，所以，

连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，

外接球的半径为：，

外接球的表面积为：；

故选：．

6．在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积　　

A． B． C． D．

【解析】如图，

把直三棱柱补形为长方体，则其外接球的半径，

该三棱柱外接球的体积为．

故选：．

7．直三棱柱中，，，则该三棱柱的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】在直三棱锥中，，，，

面，

即

直三棱柱的底面为等腰直角三角形，

把直三棱柱补成正四棱柱，

则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，

设，分别为，的中点，则的中点为球心，球的半径，故表面积为．

故选：．

8．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是　　

A． B． C． D．

【解析】由于直三棱柱的底面为等腰直角三角形，

把直三棱柱补成正四棱柱，

则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，

所以外接球半径为，

表面积为．

故选：．

9．正四棱柱中，，二面角的大小为，则该正四棱柱外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】

如图，，交于，

易证为二面角的平面角，

即，

从而，

，

，

，

外接球直径为，

外接球半径为，

．

故选：．

10．正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为，则该正六棱柱的外接球的表面积是　　

A． B． C． D．

【解析】正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为，

底面对角线的长度为：；

所以该正六棱柱的外接球的半径为：．

所以该正六棱柱的外接球的表面积是：．

故选：．

11．正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为1，则该正六棱柱的外接球的表面积是　　

A． B． C． D．

【解析】正六棱柱的侧面是正方形，

底面的边长为1，则底面最长对角线的长度为2．

因此该正六棱柱的外接球的半径．

该正六棱柱的外接球的表面积．

故选：．

12．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】正六棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正六棱柱的对角线的长，

所以球的直径为：，

所以球的表面积为：．

故选：．

13．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】设正六棱柱的底面边长为，高为，则，，

正六棱柱的体积，

当且仅当时，等号成立，此时，

可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为，

外接球的表面积为．

故选：．

14．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，

一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，

直六棱柱的外接球的直径为，

外接球的半径为5，

外接球的体积为．

故选：．

二．填空题（共20小题）

15．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是　　．

【解析】棱长均为6的直三棱柱，即正三棱柱的底面边长为6，

底面所在平面截其外接球所成的圆的半径，

又由正三棱柱的侧棱长为6，

则球心到圆的球心距，

根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，

满足勾股定理，我们易得球半径满足：，

外接球的表面积．

故答案为：．

16．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为　　．

【解析】因为是直三棱柱，所以侧棱垂直于底面，

并且底面是直角三角形，故可以将该三棱柱嵌入长方体中，长、宽、高分别为，

设外接球半径为，则，所以，

所以体积．

故答案为：．

17．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为　　．

【解析】如图所示，设与△的外接圆的圆心分别为，，半径为．

连接，取中点为，则为此三棱柱外接球的球心．

在中，．

．

此三棱柱外接球的表面积．

故答案为：．

18．已知在直三棱柱中，，，若此三棱柱的外接球的体积为，则　2　

【解析】如图，设三棱柱的外接球的半径为，

则，得．

由于直三棱柱的外接球的球心是的中点，

，

在中，，

在中，．

故答案为：2．

19．在直三棱柱中，侧棱长为，在底面中，，则此直三棱柱的外接球的表面积为　　．

【解析】由题意可知直三棱柱中，底面小圆的半径为，

连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：，

外接球的表面积为：．

故答案为．

20．在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱的外接球表面积为　　．

【解析】由题意可知直三棱柱中，

，，，

可得，

设底面的小圆半径为，则，可得；

连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，

则

外接球的表面积；

故答案为：．

21．在直三棱柱中，且，，则此三棱柱外接球的表面积为　　．

【解析】由题意可知直三棱柱中，，，，

底面小圆的半径满足：，即，

连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：

三棱柱的外接球的表面积为：；

故答案为：．

22．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为　　．

【解析】三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，

可将棱柱补成长方体，长方体的对角线，即为球的直径，

球的半径为，

球的表面积为，

故答案为：．

23．已知直三棱柱的高为，，，则该三棱柱外接球的表面积为　　；

【解析】设直三棱柱的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点，，

设的外接圆半径为，直三棱柱的外接球的半径为，如图所示：，

直三棱柱的外接球的球心为线段的中点，

在中，，，

由正弦定理得：，，

在中，，，，

，

直三棱柱的外接球的表面积为：，

故答案为：．

24．已知直三棱柱中，，侧面的面积为16，则直三棱柱外接球的半径的最小值为　　．

【解析】设，，则，

直三棱柱中，，

直三棱柱外接球的半径为，

直三棱柱外接球半径的最小值为．

故答案为：．

25．在正四棱柱中，，，则正四棱柱的外接球的表面积为　　．

【解析】正四棱柱的各顶点均在同一球的球面上，

正四棱柱的体对角线等于球的直径，

正四棱柱中，，，

正四棱柱的体对角线，

球的直径，

即球的半径，

球的表面积为，

故答案为．

26．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为　　．

【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，，

正四棱柱的外接球半径为，

当且仅当时，半径的最小值，

外接球的表面积的最小值为．

故答案为．

27．正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边长，射线交球的表面点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为　　．

【解析】由题意，点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径是四段大圆上的相等的弧．

正四棱柱中，，，

四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为，

四棱柱的外接球的半径为，，

所在大圆，所对的弧长为，

点经过的路径长为．

故答案为：．

28．在直四棱柱中，，，四边形的外接圆的圆心在线段上．若四棱柱的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为　　．

【解析】由题意四边形的外接圆的圆心在线段上，

可得和都是以为斜边的直角三角形，

因为，所以．

因为，所以，

所以四边形的面积．

因为四棱柱的体积为36，所以，

所以该四棱柱的外接球的半径，

故该四棱柱的外接球的体积为．

故答案为：．

29．已知六棱柱的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于　　．

【解析】设，，则

六棱柱的侧面积为48，底面积为，

，，

，，

该正六棱柱的外接球的半径．

该正六棱柱的外接球的表面积．

故答案为：．

30．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为　　．

【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，

一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，

直六棱柱的外接球的直径为5，

外接球的半径为，

外接球的表面积为．

故答案为：．

31．正六棱柱的底面边长为，高为，则它的外接球的表面积为　　．

【解析】正六棱柱的12个顶点都在同一球面上，

球的直径等于正六棱柱的体对角线．

正六棱柱的底面边长为，高为，

正六棱柱的体对角线为，

设球的半径为，

则．

球的半径，

外接球的表面积为．

故答案为：．

32．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为　　．

【解析】设正六棱柱的底面边长为，高为，则，，

正六棱柱的体积，

当且仅当时，等号成立，此时，

可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为，

外接球的表面积为．

故答案为：．

33．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为　　．

【解析】如图，；

正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线的长，

侧棱垂直于底面，

；

在中，由勾股定理得：，

，

即；

它的外接球的表面积为．

故答案为：．

34．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为　　．

【解析】设正六棱柱的底面正六边形的边长为，则正六棱柱的侧面积为，得，

因此，底面正六边形的外接圆直径为，设它的外接球的半径为，则，

，因此，该正六棱柱的外接球的表面积为．

故答案为：．