专题02 正四面体模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

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专题02 正四面体模型（解析版）一、解题技巧归纳总结1．正四面体如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为.二、典型例题例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（     ）．A． B． C． D．【解析】如图球的截面图就是正四面体中的，已知正四面体棱长为2，所以，，所以，截面面积是：故选：C．例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为           .【解析】解析：依题意，正四面体的外接球半径，其表面积为，故答案为.三、配套练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为　　A． B． C．1 D．【解析】已知正四面体的棱长为1，过作，交于，作平面，交于，连结，设球心为，则在上，连结，，，，，设球半径为，则，，解得．故选：．2．棱长为的正四面体的外接球和内切球的体积比是　　A． B． C． D．【解析】把棱长为的正四面体镶嵌在棱长为的正方体内，外接球和内切球的球心重合，为正方体的中心，外接球的球半径为：，，，内切球的半径为：，外接球和内切球的半径之比为：，正四面体的外球和内切球的体积比是，故选：．3．如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是　　A． B． C． D．【解析】将侧面和展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为则的最小值为，．在正四面体的边长为2，外接球的半径外接球的体积．故选：．4．表面积为的正四面体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】表面积为的正四面体的棱长为将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面积的值为．故选：．5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面积的值为．故选：．6．在棱长为的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为，则两圆的公共弦长是　　A． B． C．1 D．【解析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，所以球的半径为：，设相互垂直两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为，其中点为，则为矩形，于是对角线，而，，则；故选：．7．如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是　　A． B． C． D．【解析】将三角形与三角形展成平面，的最小值，即为两点之间连线的距离，则设，则，由余弦定理，解得，则正四面体棱长为，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍，所以，设外接球半径为，则，则表面积．故选：．8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是　　A． B． C． D．【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为：，外接球的表面积的值为．故选：．9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是　　A． B． C． D．【解析】正方体可以在正四面体纸盒内任意转动，正方体在正四面体的内切球中，正方体棱长最大时，正方体的对角线是内切球的直径，点为内切球的圆心，连接并延长交底面与点，点是底面三角形的中心，底面，为内切球的半径，连接，则，在中，，，在中，，代入数据得，令正方体棱长为，则，解得，正方体棱长的最大值为，此时正方体的外接球半径：．当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是：．故选：．10．如图，在棱长为1的正四面体中，为的重心，是线段的中点，则三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】连接，四面体中，由为的重心，可得面，是线段的中点，，，为线段的中点，．设三棱锥外接球的半径为，则，，三棱锥外接球的表面积为．故选：．11．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点、，若线段长度的最大值为，则这个四面体的棱长为　4　．【解析】设这个四面体的棱长为，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径，，依题意得，．故答案为：4．12．已知正四面体的棱长为1，为棱的中点，则二面角的余弦值为　　；平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为　　．【解析】如图，为棱的中点，，，又，平面，则为二面角的平面角，由对称性，可知二面角的平面角等于．由正四面体的棱长为1，可得，则，平面平分二面角，二面角的余弦值；设的外心为，连接，求得，，设正四面体的外接球的半径为，则，解得．平面过正四面体的外接球的球心，平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为．故答案为：；．13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是　27　．【解析】正四面体的外接球和内切球的半径之比为，正四面体的外接球和内切球的体积比是，正四面体的内切球体积是1，该正四面体的外接球的体积是27．故答案为：27．14．一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为　　．【解析】如图，一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，原正四面体的棱长为，设底面三角形的中心为，则，正四面体的高．再设正四面体外接球的球心为，连接，则，解得．该四面体的外接球的表面积为．故答案为：．15．如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是　　．【解析】将侧面和展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为，则的最小值为，．在棱锥中，设底面三角形的中心为，外接球的球心为，为的中点，则，，．设外接球的半径，则，在中，由勾股定理可得：，解得：．外接球的体积为．故答案为：．