专题05 直棱锥模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

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专题05 直棱锥模型（解析版）一、解题技巧归纳总结1． 直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）如图，平面，求外接球半径.解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②.二、典型例题例1.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为       ．【解析】因为侧棱底面，且底面为长方形，所以内切球在侧面内的正视图为的内切圆，设的半径为，根据圆的切线长定理得，所以内切球的半径为；设该阳马的外接球半径为，易知该阳马补形所得的正方体的对角线为其外接球的直径，所以，所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为. 例2.已知点，，，，是球表面上的点，平面，四边形是边长为正方形．若，则的面积为　　．【解析】依题意，可将，，，，补全为长方体，让与重合，则球为该长方体的外接球，长方体的对角线即为球的直径．是边长为正方形，平面，，，，，为边长是的等边三角形，．故答案为：．例3.已知球面上的四点平面，则球的体积等于           .【解析】依题意，画出图形如下，并把四面体补全成棱长为的正方体，正方体的外接球半径，所以球的体积，故答案为.三、配套练习1．已知三棱锥中，平面，平面，若，，则此三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】已知三棱锥中，平面，又平面，所以，所以补全三棱锥为三棱柱，且为直三棱柱，则所在的平面就是直三棱柱对角线所在的一个面，三棱锥的外接球的半直径就为的长度，又因为，，可得就是所求的外接球的直径，所以球的直径为，半径为：，所以球的表面积为．故选：．2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为，则四棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】因为底面为矩形，平面，所以，，而，所以面，所以，所以为面角为，即，在中，，由题意可得四棱锥的外接球就是以，，为邻边的长方体的三条棱的外接球，设外接球的半径为，则，所以四棱锥的外接球的表面积，故选：．3．在三棱锥中，平面，，底面是边长为3的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】根据已知中底面是边长为3的正三角形，平面，，可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球，是边长为3的正三角形，的外接圆半径，球心到的外接圆圆心的距离，故球的半径．三棱锥外接球的表面积为：．故选：．4．三棱锥中，平面且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】根据已知中底面是边长为的正三角形，底面，可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球是边长为的正三角形，的外接圆半径，球心到的外接圆圆心的距离，故球的半径，故三棱锥外接球的表面积，故选：．5．三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为　　A． B． C． D．【解析】，，，，的外接圆的半径，设三棱锥的外接球的球心到平面的距离为，则，该三棱锥的外接球半径为，表面积为：，故选：．6．在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】由题意，侧棱平面，平面，，，，平面，，，两两垂直，将三棱锥扩充为长方体，则对角线长为，三棱锥的外接球的半径为，三棱锥的外接球的表面积为，故选：．7．在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】，，由余弦定理可得，设外接圆的半径为，则，，设球心到平面的距离为，则由勾股定理可得，，，三棱锥的外接球的表面积为．故选：．8．三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】平面，，平面，是三棱锥的外接球直径；中，，，可得外接球半径，外接球的表面积故选：．9．在三棱锥中，平面，，，，设为中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】在中，，，，由余弦定理得：，即，解得：．设的外接圆半径为，由正弦定理得解得：；且，又为中点，在中，，，．由余弦定理得：，即：，解得．又因为平面，所以为直线与平面所成角，由，得，，所以在中，．设三棱锥的外接球半径为，所以，三棱锥外接球表面积为：．故答案为：．10．如图，在三棱锥中，平面，，．若三棱锥外接球的半径为，则直线与平面所成角的正切值为　　．【解析】如图，设为的外心，为三棱锥的外接球的球心由平面，平面，知，取的中点，由，知为的中点，且四边形为矩形，又，，外接圆的半径，在中，由，得，，直线与平面所成角的正切值为．故答案为：．11．在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为．记点的轨迹长度为，则　　；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为　　．【解析】如图所示，因为平面，垂足为，则为直线与平面所成的角，所以；因为，所以，所以点位于底面矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，记点的轨迹为圆弧，连接，则；因为，，所以；则弧的长度为，所以．当点位于时，三棱锥的体积最小，又，所以三棱锥的外接球球心为的中点；因为，所以三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：；．12．已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】依题意，，，将三棱锥放入棱长为4，4，6的长方体中，如图所示：，所以三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积，故答案为：．13．已知四面体中，，，，平面，则四面体外接球的表面积为　　．【解析】，，，中，，可得又平面，、平面，以、、为长、宽、高，作长方体如图所示则该长方体的外接球就是四面体的外接球长方体的对角线长为长方体外接球的直径，得因此，四面体的外接球体积为故答案为：．14．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　．【解析】设三棱锥的外接球的球心为，半径为，的外接圆半径为，则，得，又，，即．又，．，则．三棱锥体积．三棱锥体积的最大值为．故答案为：．15．已知在三棱锥中，平面，，且在中，，则三棱锥的外接球的体积为　　．【解析】，，，，，面，，该三棱锥的外接球的半径为，该三棱锥的外接球的体积．故答案为：．16．矩形中，，，平面，，，分别是，的中点，则四棱锥的外接球表面积为　　【解析】由题意，，，分别是，的中点，可得是正方形，平面外接圆．平面，即平面，球心与圆心的距离为，可得，解得，，四面体外接球的表面积为：．故答案为：17．在三棱锥中，平面，，，又，则该三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】，，由余弦定理可得，，外接圆的半径为，设球心到平面的距离为，则由勾股定理可得，三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．18．中国古代数学经典九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑biēnào．若三棱锥为鳖臑，且平面，，又该鳖臑的外接球的表面积为，则该鳖臑的体积为　　．【解析】由题意，三棱锥为鳖臑，且平面，，如图：，又该鳖臑的外接球的表面积为，可知为外接球的直径，则，，则该鳖臑的体积为：．故答案为：．19．三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　．【解析】如图，在中，由正弦定理得，，，，又平面，，，两两垂直，故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，，为的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．易得外接球半径为，故外接球表面积为．故答案为：．20．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为　　．【解析】根据平面，，，，且四边形为矩形，所以：，，，设该阳马外接球的半径为，所以，解得则：．故答案为：．