2021-2022学年陕西省西安市蓝田县高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

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2021-2022学年陕西省西安市蓝田县高二（下）期末数学试卷（理科）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知复数，则在复平面内所对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 对两个变量与进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数如下，其中拟合效果最好的模型是(    )
   模型Ⅰ的相关系数为；
   模型Ⅱ的相关系数为；
   模型Ⅲ的相关系数为；
   模型Ⅳ的相关系数为

A. Ⅰ B. Ⅱ C. Ⅲ D. Ⅳ

3. 口袋中装有大小形状相同的红球个，白球个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设复数满足，在复平面内对应的点为，则(    )

A.  B.
C.  D.

6. 设随机变量，满足：，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 的二项展开式中第项的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻、复杂．某地区安排，，，四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且，两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9. 下列求导错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 设名学生报名参加同一时间安排的项课外活动方案有种，这名学生在运动会上共同争夺米、跳远、铅球项比赛的冠军的可能结果有种，则为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 某种产品的价格单位：元与日需求量单位：之间的对应数据如表所示：

根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论错误的是(    )

A. 变量与呈负相关
B. 回归直线经过点
C.
D. 该产品价格为元时，日需求量大约为 

12. 已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知复数，若，则______．
14. 函数在区间上的最大值为______．
15. 如图，已知直线是曲线在点处的切线，则的值为______．

16. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸服从正态分布，若落在内的零件个数为，则可估计所抽取的这批零件中直径高于的个数大约为______附：若随机变量服从正态分布，则，，．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知，是实数，和是函数的两个极值点．
    求和的值；
    设函数的导函数，求的极值点．
18. 本小题分
    第七次全国人口普查数据显示，我国岁及岁以上人口已达亿，预计“十四五”期间这一数字将突破亿，我国将从轻度老龄化进人中度老龄化阶段．为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取位老人其中男性人，女性人，进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福．调查所得数据的茎叶图如图：
    Ⅰ根据茎叶图完成下列列联表；

Ⅱ通过计算判断能否有的把握认为老年人幸福指数与性别有关？
附：，其中．

19. 本小题分
    如图，贵州省安顺市高三学生王小明家住小区，他每天早上骑电动车去学校上学，从家到学校有，两条路线，路线上有，，三个路口，每个路口遇到红灯的概率均为；路线上有，两个路口，且，路口遇到红灯的概率分别为，．
    若走路线，求遇到次红灯的概率；
    若走路线，变量表示遇到红灯次数，求的分布列及数学期望．

20. 本小题分
    已知函数．
    Ⅰ讨论函数的单调性；
    Ⅱ当时，证明：在上，．
21. 本小题分
    某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如表：

现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的．
Ⅰ若甲、乙两人共付车费元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
Ⅱ若甲、乙两人共付车费元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？

22. 本小题分
    已知函数．
    Ⅰ若，求曲线在处的切线方程；
    Ⅱ若函数在上无零点，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
在复平面内所对应的点位于第四象限．
故选：．
先对化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查相关系数的意义，关键是掌握相关系数的统计意义，属于基础题．
相关系数的绝对值越接近，拟合效果越好，分析可得应该选择相关系数的绝对值最接近的模型，比较可得答案．

【解答】

解：根据题意，相关系数的绝对值越接近，拟合效果越好，而模型Ⅰ的相关系数的绝对值最大且最接近．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：设事件表示“第一次取得红球”，事件表示“第二次取得白球”，
则，，
故第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查组合数公式以及组合数的性质的应用，属于基础题．
利用组合数公式的性质求解即可．

【解答】

解：，可得或，解得，舍．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的模，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
由在复平面内对应的点为，可得，，，然后根据即可得解．

【解答】

解：在复平面内对应的点为，
，，，
，
，
，
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二项分布的期望公式的应用，方差性质的运用，属于基础题．
先利用二项分布的数学期望公式求出，再利用方差的性质求解即可．

【解答】

解：因为，
则，
又，
所以．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：的二项展开式中第项为，
所以展开式中第项的系数为．
故选：．
由二项展开式的通项公式直接求解即可．
本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：四名同志到三个地区，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，
且，两人不安排在同一个地区的不同的分配方法总数为．
故选：．
用全部的分配方法总数减去，在同一组的分配方法数即可求解．
本题考查分组分配问题，补集思想，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项A，，故A正确；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D正确；
故选：．
利用求导公式分别求解即可．
本题考查了导函数的求法，重点考查了求导公式，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有种选择，有名学生根据分步计数原理知共有种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．
本题考查分步乘法原理，考查计数原理的应用，是一个简单的应用分步计数原理的题目，没有同分类原理结合，也没有排列组合问题的应用，是一个基础题．
【解答】
解：由题意知本题是一个分步乘法问题，
首先每名学生报名有种选择，
有名学生根据分步计数原理知共有种选择，
每项冠军有种可能结果，
项冠军根据分步计数原理知共有种可能结果．
故选C．  

11.【答案】 

【解析】解：，，
，，故A，，都正确；
，
令，则，D错误．
故选：．
根据线性回归直线方程必过样本点中心即可求解．
本题考查线性回归直线方程必过样本点中心，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：的图像关于直线对称，图像关于轴对称，
为偶函数，设，则为奇函数，
又当时，，
在上单调递减，又为奇函数，
在上也单调递减，
又，，，
，又在上也单调递减，
，
即．
故选：．
先由题意得为偶函数，构造，则为奇函数，再由导数研究的单调性，接着比较三个自变量的大小关系，最后利用的单调性即可比较，，的大小关系．
本题考查函数的奇偶性，利用函数的单调性比较大，利用导数研究函数的单调性，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
化为，
，即，
，，
则，
故答案为：．
利用复数的运算法则化简，再根据复数相等即可得出结论．
本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
故当时取得极大值，也为最大值，．
故答案为：．
利用导数研究函数在上的单调性，由单调性即可求得最大值．
本题考查利用导数研究函数在区间上的最值问题，属基础题，准确求导，熟练运算，是解决该类问题的基础．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可知，又直线的斜率，
．
故答案为：．
根据导数的几何意义即可求解．
本题考查导数的几何意义，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：零件直径尺寸服从正态分布，
，，，
，
，
故所抽取的这批零件中直径高于的个数大约为．
故答案为：．
根据正态分布的性质即可求解．
本题考查正态分布的性质，属基础题．
 

17.【答案】解：由，得．
和是函数的两个极值点，
，，解得，．
由得，，
，解得，．
当时，；当时，，
是的极值点．
当或时，，不是的极值点．
的极值点是． 

【解析】先求函数的导函数，然后根据和是函数的两个极值点，则，，建立方程组，解之即可求出与的值；
先求出的解析式，求出的根，判定函数的单调性，从而函数的的极值点．
本题考查函数的导数的应用，函数在某点取得极值的条件．考查转化思想以及计算能力．
 

18.【答案】解：Ⅰ列联表如下：

Ⅱ，
有的把握认为老年人幸福指数与性别有关． 

【解析】根据独立性检验原理即可求解．
本题考查独立性检验原理，属基础题．
 

19.【答案】解：设走路线遇到次红灯为事件，则；
依题意，的可能取值为，，，
则；
，
随机变量的分布列为：

． 

【解析】根据题意，设走路线遇到次红灯为事件，根据独立重复试验概率计算公式即可求解；
根据题意，的可能取值为，，，再分别求出其概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ，，
当时，
，；，，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，
，；，，
在上单调递减，在上单调递增．
综合可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
Ⅱ证明：当时，令，，
，
在上单调递增，
，
故在上，． 

【解析】Ⅰ先求导，再分类讨论导函数的符号即可求解；
Ⅱ构造函数，再利用导数求出的最值，从而得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，分类讨论思想，属中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ若甲、乙两人共付车费元，则其中一人乘坐地铁站数不超过站，另外一人乘坐地铁站数超过站且不超过站，
则有种．
故甲、乙下地铁的方案共有种；
Ⅱ若甲、乙两人共付车费元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：
第一类，甲乘地铁站数不超过站，乙乘地铁站数超过站且不超过站，
则有种；
第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过站且不超过站，记地铁第四站至第七站分别为，，，，易知甲比乙先下地铁有以下三种情形：
甲站下，乙下地铁方式有种；
甲站下，乙下地铁方式有种；
甲站下，乙只能从下地铁，共有种方式，
从而有种．
依据分类加法计数原理，得种，
故甲比乙先下地铁的方案共有种． 

【解析】Ⅰ若甲、乙两人共付车费元，则其中一人乘坐地铁站数不超过站，另外一人乘坐地铁站数超过站且不超过站，利用排列与组合即可得出结论．
Ⅱ若甲、乙两人共付车费元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：第一类，甲乘地铁站数不超过站，乙乘地铁站数超过站且不超过站，第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过站且不超过站，记地铁第四站至第七站分别为，，，，甲比乙先下地铁通过分类讨论，利用分类加法计数原理即可得出结论．
本题考查了排列与组合数的计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ当时，，，
，，
曲线在处的切线方程为，
即所求为；
Ⅱ，，
当时，，在上单调递减，
在上无零点且，
，，
，
当时，令得，
若，即时，，在上单调递增，
在上无零点且，符合题意；
若，即时，，在上单调递减，
在上无零点且，
，，
；
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，又在上无零点，
，，．
综合得，
综合可得实数的取值范围为． 

【解析】Ⅰ根据导数的几何意义，直线的点斜式方程即可求解；
Ⅱ分类讨论利用导数研究在上的图象，再数形结合即可求解．
本题考查导数的几何意义，直线的点斜式方程，利用导数研究函数的单调性、最值，分类讨论思想，数形结合思想，属难题．