2021-2022学年湘鄂冀三省益阳平高学校、长沙市平高中学等七校联考高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年湘鄂冀三省益阳平高学校、长沙市平高中学等七校联考高一（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. (    )

A.  B.  C.  D.

2. 命题“，”的否定是．(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 年月日，女排世界杯在日本拉开帷幕，某网络直播平台开通观众留言通道，为中国女排加油．现该平台欲利用随机数表法从编号为，，，的号码中选取个幸运号码，选取方法是从下方随机数表第行第列的数字开始，从左往右依次选取个数字，则第个被选中的号码为(    )
    

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 年是中国共产党建党周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展．某学校高一年级举办了班级合唱活动．现从全校学生中随机抽取部分学生，并邀请他们为此次活动评分单位：分，满分分，对评分进行整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(    )

A.
B. 学生评分的中位数的估计值为
C. 学生评分的众数的估计值为
D. 若该学校有名学生参与了评分，则估计评分超过分的学生人数为

6. 投掷一枚骰子次，并记录骰子向上的点数．下列选项的统计结果中，可以判断一定没有出现点数的是(    )

A. 平均数为，方差为 B. 中位数为，众数为
C. 平均数为，中位数为 D. 中位数为，方差为

7. 已知，且，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则

10. 在中，内角，，所对的边分别是，，若，，，则角的可能取值是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 某企业退休职工黄师傅退休前后每月各类支出占比情况如图，已知退休前工资收入为元月，退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多元，则下面结论中正确的是(    )

A. 黄师傅退休后储蓄支出元月
B. 黄师傅退休工资收入为元月
C. 黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前相比未发生变化
D. 黄师傅退休后的其它支出比退休前的其它支出多元月

12. 如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中(    )

A.
B. 和所成的角是
C. 直线和平面所成的角是
D. 如果平面平面，那么直线直线
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知角的终边经过点，且，则______．
14. 已知平面向量满足，则与的夹角为______．
15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则______．
16. 如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，则四棱锥的外接球的体积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，．
    若，求；
    在，，，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
18. 已知向量，．
    若，求的值；
    若，求的值．
19. 已知函数．
    求的值；
    求的单调递增区间．
20. 我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩百分制，均为整数分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图，观察图形中的信息，回答下列问题：
    利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
    从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；
    已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率．

21. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，．
    若平面平面，求证：；
    求证：平面平面；
    若二面角的正切值为，求四棱锥的体积．

22. 在锐角中，内角，，所对应的边分别是，，已知
    证明：
    求函数的值域．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，
故选：．
根据的高次幂的规律计算即可．
本题考查了的高次幂的计算规律，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题的否定，存在量词命题与全称量词命题的否定关系，基本知识的考查．属于基础题．
直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．

【解答】

解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是：，．
故选A．

3.【答案】 

【解析】解：利用随机数表法从编号为，，，的号码中选取个幸运号码，
从下方随机数表第行第列的数字开始，从左往右依次选取个数字，
选取的这个号码是：，，，，；
所以选取的第个号码为．
故选：．
根据随机数表法依次写出抽取的对应号码即可．
本题考查了利用随机数表法抽取样本的应用问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小．
本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于选项A，由频率分布直方图面积之和为知，
，
解得，故错误；
对于选项B，，
学生评分的中位数的估计值为，
故错误；
对于选项C，区间所在矩形最高，
学生评分的众数的估计值为，
故正确；
对于选项D，若该学校有名学生参与了评分，
则估计评分超过分的学生人数为，
故错误；
故选：．
对于选项A，由频率分布直方图面积之和为列方程求解即可；
对于选项B，由，根据中位数的定义求解即可；
对于选项C，由区间所在矩形最高求众数的估计值即可；
对于选项D，结合频率分布直方图及频率与频数的关系求解即可．
本题考查了频率分布直方图及样本的数字特征的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：若平均数为且出现点数，则方差，所以此时的方差一定不为，故A选项一定没有出现点数，
选项B、、中，涉及到中位数，众数，不能确定是否出现点数，
故选：．
根据方差的运算公式与平均数的关系，即可计算得平均数为，且出现点数，则方差，由此可分析得出答案．
本题考查平均数和中位数，方差，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值是，
故选：．
先变形，再利用基本不等式求最值即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则函数的图象与直线有三个交点，数形结合可得答案．
本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，考查了数形结合思想，难度中档．
【解答】
解：函数的图象如下图所示：

若关于的方程恰有三个不相等的实数解，
则函数的图象与直线有三个交点，
当直线经过原点时，，
由的导数得：，
当直线与相切时，切点坐标为：，
当直线经过时，，
故，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
对于，若，，则由面面垂直的判定定理得，故A正确；
对于，若，，则平面内存在直线与平面垂直，
但不是任意一条直线均与平面垂直，故B错误；
对于，根据面面平行的判定定理要求直线，相交，故C错误；
对于，若，，，则，，则，，故D正确．
故选：．
根据空间中线面、面面的平行、垂直的判定定理和性质定理分析判断，能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线面、面面的平行、垂直的判定定理和性质定理等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，由于，，，
利用正弦定理：，解得；
由于；
所以或．
故选：．
直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，退休前的旅行金额为，
退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多元，
黄师傅退休工资收入为月，故B选项正确，
黄师傅退休后储蓄支出月，故A选项错误，
黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前的支出占各自工资的占比相同，
黄师傅退休前后工资不同，
黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前相比发生变化，故C选项错误，
黄师傅退休前的其它支出为月，黄师傅退休后的其它支出为月，
黄师傅退休后的其它支出比退休前的其它支出多元月，故D选项正确．
故选：．
退休前的旅行金额为，即退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多元，
可推得黄师傅退休工资收入为月，即可判断选项，黄师傅退休后储蓄支出月，即可判断选项，由于黄师傅退休前后工资不同，即可判断选项，根据已知条件，分别计算出黄师傅退休前的其它支出和黄师傅退休后的其它支出，即可判断选项．
本题考查频数分布表和饼状图的实际应用，需要学生有一定的逻辑思维推导能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，把正方体的平面展开图还原成正方体，

在正方体中，可知，，
故异面直线与所成的角即为与所成的角为，故A项错误；
同理，与所成的角即为与所成的角为，故B项正确；
在正方体中，，，，，
故HC平面，则点到平面的距离为，
设直线与平面所成的角为，则，故，故C项正确；
在正方体中，，，，，
则平面平面，平面平面于直线，平面平面，
故直线直线，故D项正确．
故选：．
根据正方体的平面展开图还原正方体，利用正方体的性质，结合异面直线的位置关系，线面位置关系及面面平行的性质依次判断各项的正误．
本题考查了立体几何的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：角的终边经过点，且，则，
故答案为：．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，的夹角为，又，，则，
又，则，
故，得，
故，
故答案为：．
设，的夹角为，再将两边同时平方，利用向量数量积运算即可．
本题考查向量的数量积运算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，是定义在上的奇函数，则，
又由当时，，则有，解可得；
则，
故；
故答案为：．
根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的解析式可得的值，由此计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出的值，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：法一：由题意知为正三角形，取的中点，的中心，
记，连接，，过，分别作平面与平面的垂线，
两垂线交于点，则点为四棱锥的外接球球心．
由题意知，，
所以四棱锥的外接球半径，所以四棱锥的外接球的体积．

法二：连接，，，，记，，
连接，易知四棱锥的外接球的球心在线段上．
取的中点，连接，设，球的半径为，
易知，，
则，得，则，
所以四棱锥的外接球的体积．


法三：如图过，，三点作圆交于点，则四棱锥的外接球与四棱锥的外接球为同一个，
设的外接圆的半径为，
则，由于，则，
故，

底面外接圆的半径为边长的一半，即为．
四棱锥的外接球半径，，
所以四棱锥的外接球的体积．


故答案为：．
此题要求出四棱锥的外接球，关键在于找到外接球的球心或半径．
方法一通过构建两个垂直平面找对应球心；
方法二通过找到球心所在的线，并列出方程进行计算；
方法三通过转化为侧棱垂直于底面，构建与四棱锥处在相同的外接球的四棱锥，进而求出半径．
本题考查了四棱锥外接球的体积的计算，主要在于找到球的球心，第一二种方法重在找球心，第三种方法重在求半径．
 

17.【答案】解：，
，
又，
．
若选：则满足或，
的取值范围为或．
若选：或，
则满足，
的取值范围为．
若选：
则满足，
的取值范围为． 

【解析】可求出，时求出集合，然后进行并集的运算即可；
选作为已知条件时可得出或；选作为已知条件时可得出，选作为已知条件时可得出，然后求出的范围即可．
本题考查了绝对值不等式的解法，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：向量，，，
，解得．
，
，
，
，
解得或． 

【解析】利用向量平行的性质直接求解．
利用平面向量坐标运算法则先分别求出，，再由，能求出的值．
本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：函数；
；
令，；
整理得：，；
故函数的单调递增区间为； 

【解析】首先利用关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值；
利用整体思想的应用求出函数的单调递增区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：本次考试成绩的平均数为．
因为前组频率之和为，前组频率之和为，
所以第百分位数在第组中，设为，
则，解得．
第百分位数是．
第五组与第六组学生总人数为，
其中第五组有人，记为、、、，第六组有人，记为、、，
从中随机抽取人的情况有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有种，其中至少人成绩优秀的情况有种，
所抽取的人中至少人成绩优秀的概率为． 

【解析】根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可；根据频率分布直方图，及第百分位数的概念计算即可；
计算出第五组与第六组人数，进行编号，列出抽取人的所有情况，然后求得概率．
本题考查根据频率分布直方图求平均数，百分位数，属于基础题．
 

21.【答案】证明：，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
．
证明：，，，
，∽，
，，，
，
平面平面，平面，平面平面，，
平面，平面，，
，平面，
平面平面平面．
解：如图，取中点，连接，作，垂足为，连接，
，，
平面平面，平面，平面平面，，
平面．
平面，，，平面．
平面，，
二面角的平面角为，
，，，
，，
． 

【解析】由，可得平面，再利用线面平行的性质定理可证得；
推导出，，可得平面，再由线面垂直的性质定理可证得平面平面；
根据已知求出的长，再由锥体的体积公式即可得解．
本题主要考查线线平行的判定，面面垂直的判定，锥体体积的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】证明：因为，
所以，
所以，
所以，所以，即，
因为是锐角三角形，
所以，
所以，
则，即．
解：因为是锐角三角形，所以解得：，
则，
从而，
故，
设，则
则，
设函数，则其图象的对称轴方程为，
当，即时，在上单调递增，
因为，
所以的值域是；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以的值域是；
当，即时，在上单词递减，在上单词递增，
因为，
所以的值域是；
当，即时，在上单调递减．
因为，
所以的值域是
综上，当时，的值域是；当时，的值域是；当时，的值域是；当时，的值域是． 

【解析】由正弦定理可得，由是锐角三角形求出的范围，进而证得．
由是锐角三角形求出的范围，进而求出的范围，设，则，则，设函数，则其图象的对称轴方程为，再讨论对称轴相对于区间的位置，分情况讨论得到函数的值域即可．
本题主要考查了正弦定理的应用，考查了三角函数的性质和二次函数的性质，属于中档题．