2021-2022学年四川省自贡市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年四川省自贡市高二（下）期末数学试卷（文科）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 复数是虚数单位的在复平面上对应的点位于第___象限

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

2. 下列函数中，在区间上存在最小值的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，双曲线的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有(    )

A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条

5. 若以双曲线的左、右焦点和点为顶点的三角形为直角三角形，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知命题：，，则是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 若函数在上可导，且，则(    )

A.  B.  C.  D. 以上答案都不对

8. 是成立的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 函数的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 点是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点，且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 设，分别是椭圆：的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点，交轴于点，若满足且，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. ，则______．
14. 已知双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为______．
15. 若命题：，为真命题，则实数的取值范围为______．
16. 若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，高山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有人对滑雪运动没有兴趣．
    完成下面列联表；

判断是否有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？
附：

18. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数已知是曲线上的动点，将绕点逆时针旋转得到设点的轨迹为曲线以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
    求曲线，的极坐标方程；
    设点，若射线：与曲线，分别相交于异于极点的，两点，求的面积．
19. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直．
    求函数的解析式：
    若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
20. 设、分别为双曲线：的左、右焦点，且也为抛物线的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点．
    双曲线的方程；
    若直线：与双曲线相交于、两点，求．
21. 已知函数函数在处取得极值．
    求实数；
    对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22. 已知椭圆的一个焦点为，经过点，过焦点的直线与椭圆交于，两点，线段中点为，为坐标原点，过，的直线交椭圆于，两点．
    求椭圆的方程；
    四边形面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
复数是虚数单位的在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面上对应的点的坐标得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：、函数是开口向上的抛物线，又对称轴为，故当时函数取最小值，故选A；
而、、中的三个函数在区间上都为增函数，而区间为开区间，自变量取不到左端点，故函数都无最小值；
故选：．
先判断函数的单调性，再判断函数能否取到最值的情况，从而得出结论．
本题主要考查函数值域的求法，要求函数的值域应先判断函数的单调性，再看函数是否能取到最值．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，
因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，
所以．

故选：．
设双曲线的右焦点为，连接，根据双曲线的对称性得到，结合双曲线的定义，即可求解．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由已知，可得
当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点，
当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
由可得，，
则，解得，
故直线方程，
所以存在条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点，
故选：．
由已知，根据题意，过点分别从与轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出满足题意的直线，然后即可做出判断．
本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意，以双曲线的左、右焦点和点为顶点的三角形为直角三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
由题意，以双曲线的左、右焦点和点为顶点的三角形为直角三角形，可得，求出，即可求出．
本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确求出是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为，，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，解得：，
则，
，
，
，
．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，或，
，
是成立的充分不必要条件，
故选：．
先解对数不等式，一元二次不等式，再利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了对数不等式，一元二次不等式的解法，充要条件的判定，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，，排除，，
当时，，排除，
故选：．
求出和的值，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，求出和的值，利用函数值的符号和大小关系进行排除是解决本题的关键，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到是解题的关键．属于中档题，
直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出，，的关系，求出双曲线的离心率．
【解答】
解：设双曲线的左焦点为，因为点是双曲线左支上的一点，
其右焦点为，若为线段的中点，且到坐标原点的距离为，
由三角形中位线定理可知：，，．
所以，．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：检验易知、、均适合，
不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，
但和在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．
故选：．
根据导函数判断函数单调性，结合图像逐一判断即可．
本题考查利用导数判断函数的单调性，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
利用已知条件求出与的坐标，把点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率．
【解答】
解：设，分别是椭圆的左、右焦点，．
直线过交椭圆于，两点，交轴于点，若满足且，
可得，
设，则，解得
可得：
即：，．
解得．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：，则，．
故答案为：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为双曲线：的一个焦点为，
所以，得，
双曲线的方程为，
令，可得，
所以的渐近线方程为，
故答案为：
先由焦点和已知方程，可求出，从而可得双曲线的方程，进而可求得双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线方程的求法及性质的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：对于，：，为真命题，
当时，不等式为，其解集不是，不符合题意，
当时，必有，解可得，
综合可得：，即的取值范围为；
故答案为：．
根据题意，分与两种情况讨论，结合二次函数的性质求出的取值范围，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及二次函数的性质，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：的导数为，的导数为，，
设公共切线与的图象切于点，
与切于点，
，
化简可得，，，
可得，
即有，
设，，
则，
在上递增，在上递减，
，
实数的取值范围为，
即的最大值为．
故答案为：．
设公切线与、的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数的取值范围和最大值．
本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．
 

17.【答案】解：依题意对滑雪运动有兴趣的人数为人，
女生中有人对滑雪运动没有兴趣，则对滑雪运动有兴趣的有人，
所以男生中对滑雪运动有兴趣的有人，
男生中对滑雪运动没有兴趣的有人，
故列联表：

由可得，
则有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关． 

【解析】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
消去参数，可得直角坐标方程为，
又，，得极坐标方程为；
是曲线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，设点的轨迹为曲线，
则的极坐标方程为．
由题意知，，，
．
又到射线的距离为．
故的面积为． 

【解析】化曲线的参数方程为直角坐标方程，进一步可得极坐标方程，再利用转换关系，可得的极坐标方程；
利用点到直线的直线的距离公式和三角形的面积公式求的面积．
本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：的图象经过点，，
又，且在点处的切线恰好与直线垂直，
，即，解得，
代入，得，
故；
由知，，则，
令，解得或，
的单调递增区间为和，
又函数在区间上单调递增，或，
即或．
实数的取值范围是． 

【解析】由椭圆可得，，由此列出方程组，即可解出答案；
求出函数的单调递增区间，结合已知即可求出的取值范围．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知：双曲线焦点在轴上，
焦点，，
因为也为抛物线的焦点，所以，
所以，
因为、、是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，
即，
所以，
故双曲线的方程为：；
因为直线：与双曲线相交于、两点，设，，
联立，消去，整理得，，
所以，，
所以． 

【解析】根据条件可得，从而求得的值，根据，，是等腰直角三角形的三个顶点，可得，从而求得的值，根据，，的关系可求，代入双曲线方程即可；
将直线的方程与双曲线的方程联立消元，可得韦达定理，代入弦长公式计算可得．
本题考查了双曲线的方程以及直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
 

21.【答案】解：因为，，
所以，
因为在处取得极值，
故有，即，解得．
当时，，，故在处导函数为，且在左右导函数异号，满足极值点条件，
故；
因为，
构造函数，即，
因为任意，，当时，不等式恒成立，
所以函数在上单调递减，
即在上恒成立，
由，
设，
因为，所以，所以函数单调递减，
故，因此．
故实数的取值范围为． 

【解析】求导，根据函数在处取得极值，结合极值点的定义可得；
根据不等式的形式化简得，构造新函数，利用导数的性质进行求解即可．
本题考查了导数的综合运用，也考查了转化思想，易错点在于第中没有验证是否满足题意，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意可得，
解得，
故椭圆的方程为；
解：当直线斜率不存在时，，的坐标分别为，四边形面积为；
当直线斜率存在时，设其方程为，点，，，，
点，到直线的距离分别为，，
则四边形面积为，
由得，
则，
所以

，
因为，
所以中点，
当时，直线方程为，
，解得，
所以




，
当时，四边形面积的最大值，
综上，四边形面积的最大值为． 

【解析】根据焦点，椭圆所过的点，，，之间的勾股关系即可求出答案；
利用设而不求联立椭圆和直线方程，利用韦达定理解出根与系数的关系，对面积表达式进行化简，利用参数的范围得出最终答案．
本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．