人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积同步训练题

8.3 简单几何体的表面积与体积

【知识点梳理】

知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

    棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：

知识点诠释：

求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．

知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．

1．圆柱的表面积

（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．

（2）圆柱的表面积：．

2．圆锥的表面积

（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．

（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr．

3．圆台的表面积

（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为π(r＇+r)，即圆台的侧面积为S圆台侧=π(r＇+r)．

（2）圆台的表面积：．

知识点诠释：

求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．

知识点三、柱体、锥体、台体的体积

1．柱体的体积公式

棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．

圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．

综上，柱体的体积公式为V=Sh．

2．锥体的体积公式

棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．

圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．

综上，锥体的体积公式为．

3．台体的体积公式

棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．

圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是

．

综上，台体的体积公式为．

知识点四、球的表面积和体积

1．球的表面积

（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．

（2）球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积公式  S球=4πR2．

即球面面积等于它的大圆面积的四倍．

2．球的体积

设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．

球的体积公式为．

【典型例题】

类型一  棱柱、棱锥、棱台的表面积

例1．（2022·全国·高一）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.

（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；

（2）若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.

解题技巧（求多面体表面积注意事项）

    1．多面体的表面积转化为各面面积之和．

2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．　　

例2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，点，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.

例3．（2021·全国·高一课时练习）已知四面体S­ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积．

例4．（2021·山东·枣庄八中高一期中）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，

（1）计算制作该模型所需原料的质量；

（2）计算该模型的表面积（精确到0.1）

参考数据：，，

类型二  棱柱、棱锥、棱台的体积

例5．（2021·全国·高一课时练习）已知一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积．

解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)

1．常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

2．求几何体体积时需注意的问题

柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．

例6.（2021·安徽·安庆一中高一期中）已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.

例7．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高二阶段练习（理））如图所示，正方体的棱长为，连接，，，，，得到一个三棱锥．求：

（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；

（2）三棱锥的体积．

例8.（2021·全国·高二课时练习）如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且△，△均为等边三角形，，，求该多面体的体积.

类型三  圆柱、圆锥、圆台的表面积

例9．（2020·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）如图，梯形满足，，，，，现将梯形绕所在直线旋转一周，所得几何体记为．求的表面积．

解题技巧（求旋转体表面积注意事项）

   旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．　　

例10．（2020·陕西·西安市华山中学高一阶段练习）西安市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为，高为.随着西安市经济的发展，粮食产量的增大，西安市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大（高不变）；二是高度增加（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

例11．（2021·全国·高一课时练习）如图，直三棱柱的高为，底面三角形的边长分别为．以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积．

类型四  圆柱、圆锥、圆台的体积

例12．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱．

（1）求出此圆锥的侧面积；

（2）用表示此圆柱的侧面积表达式；

（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．

解题技巧(求几何体积的常用方法)

(1)公式法：直接代入公式求解．

(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

例13．（2021·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一阶段练习）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.

图1                   图2

（1）求该蒙古包的侧面积；

（2）求该蒙古包的体积.

例14．（2021·江西赣州·高二阶段练习（理））已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2.

（1）求该圆锥的底面积；

（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求这个圆柱的体积.

例15．（2021·全国·高一课时练习）若圆锥的表面积是，侧面展开图的圆心角是，求圆锥的体积．

类型五  球的表面积与体积

例16．（2022·全国·高三专题练习）在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，三棱锥外接球的表面积为________.

解题技巧（与球有关问题的注意事项）

    1．正方体的内切球

球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．

2．球与正方体的各条棱相切

球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图(2)．

3．长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝ ，如图(3)．

4．正方体的外接球

正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.

5．正四面体的外接球

正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.

6、有关球的截面问题

常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.

例17．（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（    ）

A． B． C． D．不能确定

例18.（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（    ）

A． B． C． D．

例19．（2020·全国·高三专题练习）正四面体的俯视图为边长为1的正方形（两条对角线一条是虚线一条是实线），则正四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

例20．（2021·湖北孝感·高三期中）一个与球心距离为的平面截球所得的圆周长为，则球的表面积为___________.

例21．（2021·贵州师大附中高一阶段练习）在长方体中，AB=6，BC=8，.

（1）求三棱锥的体积；

（2）在三棱柱内放一个体积为V的球，求V的最大值.

【同步练习】

一、单选题

1．（2022·浙江杭州·高二期末）如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（    ）克

A．340π B．440π C．4600π D．6600π

2．（2021·山东潍坊·高二期中）半径为 4 的半圆卷成一个圆锥， 则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·山东潍坊·高二期末）牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB，则线段AB长度的最小值是（    ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．

4．（2022·广东湛江·高三阶段练习）圆柱容器内部盛有高度为的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·云南·高三期中（理））陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知该陀螺由密度为cm的木质材料做成，其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（   ）

A．10cm B．15cm C．16cm D．20cm

6．（2022·广东东莞·高三期末）“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是，球冠的高度是，则球冠的面积）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（    ）（参考数值）

A．52米 B．104米 C．130米 D．156米

7．（2022·全国·高三专题练习）如图①，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后的三视图均为图②所示，且平面A1BC1截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（   ）

A． B．

C． D．

8．（2020·广西·高二学业考试）我国南北朝时期的数学家祖冲之的儿子祖晦提出了著名的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是说，如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．根据这个原理，可推出球的体积公式为，其中是球的半径．已知球的半径等于3，那么它的体积等于（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2022·全国·高一）正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

10．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知某圆锥的母线长为，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（    ）

A．圆锥的体积为

B．圆锥的表面积为

C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形

D．圆锥的内切球表面积为

11．（2021·全国·高一课时练习）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（    ）

A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为

C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为

12．（2021·湖北·丹江口市第一中学高二阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（    ）

A．该圆台轴截面面积为

B．该圆台的体积为

C．该圆台的母线与下底面所成的角为30°

D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为

三、填空题

13．（2022·广西柳州·二模（文））阿基米德是伟大的古希腊哲学家､数学家和物理学家，他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且内切球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为___________.

14．（2022·新疆·高二期末）某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）

15．（2022·河北深州市中学高三期末）四面体ABCD的顶点A，B，C，D在同一个球面上，．若该球的表面积为．则四面体ABCD体积的最大值为______．

16．（2022·全国·高三专题练习（理））四面ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为2，3，4．若四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为________．

四、解答题

17．（2022·上海浦东新·高二期末）已知某圆柱底面半径和母线长都是.

（1）求出该圆柱的表面积和体积；

（2）若圆锥与该圆柱底面半径､高都相等，求圆锥的侧面积.

18．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图为正四棱锥P - ABCD，PO⊥平面ABCD，BC = 3，PO = 2.

（1）求正四棱锥P - ABCD的体积；

（2）求正四棱锥P - ABCD的表面积.

19．（2022·全国·高三专题练习）某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体．若其中圆台部分的体积为，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为，求及圆台部分的高．

20．（2021·全国·高一课时练习）有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺母共重．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为，内孔直径为，高为，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，取）

21．（2022·全国·高一）如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积（其中）及其体积．

22．（2022·全国·高一）如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为，两底面对角线的长分别为，水深为.

（1）求正四棱台的体积；

（2）将一根长的玻璃棒放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）

23．（2021·全国·高一课时练习）如图，圆锥底面半径为1，高为2.

（1）求圆锥内接圆柱（一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面）侧面积的最大值；

（2）圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？说明理由；

（3）若圆锥的底面半径为a，高为b，试讨论圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大.