初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数学案

二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）

【学习目标】

1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；

2．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；

3. 掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）.

【要点梳理】

要点一、二次函数的概念
1.二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.

　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

2.二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.

要点诠释：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质

1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象

用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法

用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.

要点诠释：

二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质

二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：

要点诠释：
    顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.

│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.

要点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质

1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象

（1）

（2）

2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质

关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：

3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.

的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.

要点诠释：

抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．

函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．

    抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．

【典型例题】

类型一、二次函数的概念

1．（2015•兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）．

    A. y=3x﹣1        B. y=ax2+bx+c     C. s=2t2﹣2t+1        D．y=x2+

【答案】C；

【解析】A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误；

B、y=ax2+bx+c  （a≠0）是二次函数，故B错误；

C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；

D、y=x2+不是二次函数，故D错误；

故选：C．

【总结升华】本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c  （a≠0）是二次函数，注意二次函数都是整式．

举一反三：

【变式】如果函数是二次函数，求m的值．

【答案】 根据题意，得  解得m＝0．

类型二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质

2．函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．

【答案】＜.

【解析】解法一：将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：，

∴  ；，

    又A、B在抛物线对称轴左侧，∴  a＜0，b＜0，即，，

    ∴ 

解法二：画函数y＝x2的草图(如图所示)，可知在y轴左侧(x＜0)时，y随x的增大而减小，

又∵  ，a＜b，即a-b＜0．

【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用了数形结合的思想．

举一反三：

【高清课堂：二次函数y=ax (a≠0)与y=ax+c(a≠0)的图象与性质

高清ID号： 391918   关联的位置名称（播放点名称）：练习题1】

【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则        ．

【答案】2；

【高清课堂：二次函数y=ax (a≠0)与y=ax+c(a≠0)的图象与性质

高清ID号： 391918   关联的位置名称（播放点名称）：练习题1】

【变式2】（2015•山西模拟）抛物线y=﹣x2不具有的性质是（　　）．

A.开口向上                                B. 对称轴是y轴   

  C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大     D. 最高点是原点

【答案】A.

类型三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质

3．求下列抛物线的解析式：

（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；

（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．

【答案与解析】

（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，

又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．

（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为，

又∵  该抛物线过点（3，-2），∴  ，解得． 

∴  所求抛物线为．

【总结升华】抛物线形状相同则相同，再由开口方向可确定的符号，由顶点坐标可确定的值，从而确定抛物线的解析式．

4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．

    (1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；

    (2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；

(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．

【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y轴； (0，1)；  (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1.

【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题．

(1)抛物线向  下 平移   1__个单位得到抛物线；

    (2)抛物线，开口方向是  向下 ，对称轴为___ y轴_____，顶点坐标为_ (0，1)__；

(3)抛物线，当x ＞0时，y随x的增大而减小；

当x  ＝0__时，函数y有最   大  值，其最  大__值是  1   ．

【总结升华】本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的．

二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题
1．（2014秋•石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（　　）.

①y=x+；②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2；④y=+x．

A．4个   B．3个  C.2个   D．1个

2．函数是二次函数，则m的值是(    )．

    A．3     B．-3     C．±2     D．±3

3．把抛物线向右平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为(    )．

    A．    B．    C．    D．

4．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为(    )．

    A．y＝60(1-x)2    B．y＝60(1-x)     C．y＝60-x2       D．y＝60(1+x)2

5．在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（    ）．

A．关于y轴对称，抛物线的开口向上          B．关于y轴对称，抛物线的开口向下

C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点      D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点

6．汽车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为(    )．

    A．40 m/s      B．20m/s      C．10 m/s     D．5 m/s

二、填空题

7．已知抛物线的解析式为y＝-3x2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________，

当x＞0时，y随x的增大而________．

8．若函数y＝ax2过点(2，9)，则a＝________．

9．已知抛物线y＝x2上有一点A，A点的横坐标是-1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，

则△AOB的面积为________．

10．函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．

第10题                            第12题

11．（2015•巴中模拟）对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是　．

12．如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB的边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为_____   ___(不要求写自变量的取值范围)．

三、解答题

13．已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．

(1)求m的值；(2)画出函数的图象．

14. 几位同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式．

15．（2014秋•青海校级月考）二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1的图象交于点P（1，m）

（1）求a，m的值；

（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？

（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】C ；

【解析】①y=x+、④y=+x的右边不是整式，故①④错误；

②y=3（x﹣1）2+2，符合二次函数的定义，故②正确；

③y=（x+3）2﹣2x2=﹣x2+6x+9，符合二次函数的定义，故③正确；故选：C．

2．【答案】B ；

【解析】由二次函数的定义知，二次项系数a≠0，当m＝3时，m-3＝0，所以A、D不正确．

由|m|-1＝2得m＝±3，显然C选项不正确．

3．【答案】D ；

  【解析】由抛物线的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向右平移1个单位后，

抛物线的顶点坐标为(1，0)，因此所得抛物线的解析式为．

4．【答案】A ； 

【解析】一年后这台机器的价格为60-60x＝60(1-x)，

两年后这台机器的价格为y＝60(1-x)(1-x)＝60(1-x)2．以此类推．

5.【答案】C ；

  【解析】y＝2x2，y＝-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)．

6.【答案】C ；

【解析】当y＝5时，x2＝100，x＝10．  

二、填空题

7．【答案】下 ； y轴；  (0，0)；  减小；

8．【答案】 ；

【解析】将点(2，9)代入解析式中求a.

9．【答案】 1 ； 

【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则.

10．【答案】，，．

【解析】先比较，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y＝3x2，y＝x2，．

11．【答案】；

【解析】当x=1时，y=ax2=a；

当x=2时，y=ax2=4a，

所以a﹣4a=4，解得a=．故答案为：.

12．【答案】．

三、解答题

13.【答案与解析】

(1)∵  为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，

∴  ， ∴  ．

∴m=1.

(2)由(1)得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数，

可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．

14.【答案与解析】

n位同学中，因为每人除自己之外都要与其余同学分别握手一次，即握(n-1)次手，

考虑到两位同学彼此的握手只算一次，所以n位同学共握手次．

     即

15.【答案与解析】

    解：（1）点P（1，m）在y=2x﹣1的图象上

∴m=2×1﹣1=1代入y=ax2

∴a=1

（2）二次函数表达式：y=x2

因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大；

（3）y=x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．