初中数学25.2 用列举法求概率学案

概率的计算--知识讲解

【学习目标】

1、  通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；

2、  能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率的区别与联系.

【要点梳理】

要点一、古典概型

 满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.

（1）       一次试验中，可能出现的结果是有限的；

（2）       一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.

古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.

要点诠释：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.

要点二、用列举法求概率

常用的列举法有两种：列表法和树形图法.

1. 列表法：

　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

2. 树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

要点三、利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.

要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.

【典型例题】

类型一、用列举法求概率

1．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是(　 )　　A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.

【答案】C.

【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸到黄球的概率是.

【总结升华】这是一道典型的古典概型题.

举一反三：

【高清课堂：高清ID号：  391876    高清课程名称：概率的计算

关联的位置名称（播放点名称）：面积法及练习3-4】

　【变式】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.

【答案】P（停在阴影部分）=.

2.（2015•朝阳）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．

甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．

（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；

（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）

【思路点拨】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．

【答案与解析】

解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下：

列表法，

所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：，

故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；

（2）不公平．理由如下：

举一反三：

【高清课堂：高清ID号： 391876    高清课程名称：概率的计算

关联的位置名称（播放点名称）：树形图法及练习5 】

【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为.

（1）试求袋中蓝球的个数.

（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.

【答案】（1）1个；

       （2）P（两次摸到白球）=.

类型二、利用频率估计概率

3. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：　　(1)计算并完成表格：

(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？
　　(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
　　(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)
　

【答案与解析】(1)  0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；

　       (2)　0.69；           

(3)  由（1）的频率值可以得出P（获得铅笔）=0.69；

　       (4)  0.69×360°≈248°.

【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．

举一反三：
　【变式】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条．
【答案】条 .     

4.（2015•本溪）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）

　 A．16个 B． 20个 C． 25个 D． 30个

【思路点拨】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

【答案】A.

【解析】设红球有x个，根据题意得，

4：（4+x）=1：5，

解得x=16．

故选A．

【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”.

概率的计算--巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1. 用1、2、3、4、5这5个数字(数字可重复，如“522”)组成3位数，这个3位数是奇数的概率为(   ).　　

A．　　　 B．　　　 C． 　　　D．

2.下列说法正确的是(   ).
　A．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；
　B．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行；
　C．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；
　D．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，是他得出 

全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．

3.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是(　 ).

 A． 　　　　B． 　　　　 C． 　　　　D．

4.（2014•山西）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（　　）

　 A． 频率就是概率

　 B． 频率与试验次数无关

　 C． 概率是随机的，与频率无关

　 D． 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

5. 要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是(   ).

A．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；

B．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；

C．装入红球5个，白球13个，黑球2个；

D．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．

6．现有A、B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P()，那么它们各掷一次所确定 的点P落在已知抛物线上的概率为(   ).

A. 　　　B.　　　 C.　　　 D.

二. 填空题

7.（2014春•海阳市期中）甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？　      　．

8.你喜欢玩游戏吗?现请你玩一个转盘游戏．如图所示的两上转盘中指针落在每一个数字上的机会均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，用所指的两个数字作乘积，所有可能得到的不同的积分别为_______________________；数字之积为奇数的概率为__________________．

9．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是___________．

10. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则___________．

11. 一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2，根据上述数据，小亮可估计口袋内大约有________个黑球.

12. 从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是_______.

三. 综合题

13. 现有三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型.若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率.(要求：用列表或画树状图的方法解答)

 

14.（2015春•泗洪县校级期中）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：

（1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1）

（2）请估计当n很大时，频率将会接近　  　，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是　  　；（结果全部精确到0.1）

（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？

15. 在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．　　

（1）写出点M坐标的所有可能的结果；　　

（2）求点M在直线y＝x上的概率；　　

（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】A.

【解析】5个数字组成3位数（可以重复）有5×5×5=125种，是奇数的有5×5×3=75，

所以概率为75÷125=.

2．【答案】B.

3．【答案】C.

【解析】第一次摸出红球的概率是，第二次摸出红球的概率是，

所以P（都摸到红球）=.

4．【答案】D.

【解析】∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，∴D选项说法正确．

5．【答案】C.

【解析】P（摸到红球）=.

6．【答案】B.

  【解析】两人各掷一次出现的结果有36种，而满足点P落在抛物线上的点有3种：(1，3)，
　 　　　 (2，4)，(3，3)，所以P(点P落在已知抛物线上)=

二、填空题

7.【答案】不公平.

【解析】∵掷得朝上的数字比3大可能性有：4，5，6，

∴掷得朝上的数字比3大的概率为：=，

∵朝上的数字比3小的可能性有：1，2，

∴掷得朝上的数字比3小的概率为：=，

∴这个游戏对甲、乙双方不公平．

8.【答案】1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，16，18，20，24 ； .

9.【答案】 .

10.【答案】 1 .    

11.【答案】48 .

【解析】由白球与10的比值可以确定P(白球在10个球里)=0.2，所以总球数是12÷0.2=60，

即黑球的个数是60-12=48.

12．【答案】.

【解析】因为方程中有两个不相等的实数根，所以△=1-4k>0,即k<,k=-2,-1,0,

所以P(有不等实数根)= .

三、解答题

13.【解析】列表如下：

　　所以两次所抽血型为O型的概率为.
　　树状图如下：
　　所以两次所抽血型为O型的概率为.

14.【解析】解：（1）298÷500≈0.6；0.59×800=472；

（2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6；

（3）（1﹣0.6）×360°=144°，

所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是144°．

15.【解析】（1）∵

　　　　　　    ∴点M坐标的所有可能的结果有九个：

　　　　　  　 (1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)．　　　　    

（2）P（点M在直线y＝x上）＝P（点M的横、纵坐标相等）＝＝．　　　　     

（3）∵

∴P（点M的横坐标与纵坐标之和是偶数）＝．