数学华师大版第23章 图形的相似综合与测试同步测试题

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第5讲 矩形、菱形与正方形
【学习目标】
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.

【基础知识】
考点一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
考点诠释：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
考点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
考点三、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
考点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
考点四、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

【考点剖析】
考点一：平行四边形
例1．、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE=EF；
（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．

【思路】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；
（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．
【答案】
证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC，
∵D为边AB的中点，DE∥BC，
∴DE=BC，∴EF=DF-DE=BC-CB=CB，
∴DE=EF；
（2）∵DB∥CF，
∴∠ADG=∠G，
∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，
∴CD=DB=AD，
∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，
∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠1=90°，
∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠1=∠DCB=∠B，
∵∠A+∠ADG=∠1，
∴∠A+∠G=∠B．
【总结】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
考点二：菱形
例2．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．

【思路】
连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．
【答案】
证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴DF=BE．


【总结】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．

举一反三：
【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．

【答案】四边形ABCD是菱形；
证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,
过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．
∴∠CFB＝∠AEB＝90°．
∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴AB＝BC,
∴四边形ABCD是菱形. 　　　　　
考点三：矩形
例3．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

【思路】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．
【答案】
证明：①∵CN∥AB，
∴∠DAC＝∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN；
②∵∠AMD＝2∠MCD ，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由①知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，
∴四边形ADCN是矩形．
【总结】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．
【举一反三】
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.

【思路】要求EF的长，可以考虑把EF放入Rt△AEF中，由折叠可知CD＝CF，DE＝EF，易得AC＝10，所以AF＝4，AE＝8-EF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出EF的值．
【答案】
解：设EF＝，
由折叠可得：DE＝EF＝，CF＝CD＝6，
又∵ 在Rt△ADC中，．
∴ AF＝AC－CF＝4，AE＝AD－DE＝8－．
在Rt△AEF中，，
即，
解得：＝3 ∴ EF＝3
【总结】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．
举一反三：
【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB ＝ 3，BC ＝ 5，则重叠部分△DEF的面积是__________．

【答案】5.1.
提示：由题意可知BF＝DF，设FC＝，DF＝5－，在Rt△DFC中，，解得＝，BF＝DE＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1.
考点四：正方形
例4．如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.

【思路】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．
【答案】
探究：AE＝EF
证明：∵△BHE为等腰直角三角形,
∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.
又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，
∴∠FCE＝∠DCE＝45°，
∴∠H＝∠FCE.
由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,
而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，
∴∠HAE＝∠FEC.
由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，
∴HA＝CE,
∴△AHE≌△ECF （ASA）,
∴AE＝EF.
【总结】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.
举一反三：
【变式】如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于 　 ．

【答案】　65°。

【真题演练】
一.选择题
1. 如图，□ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE的长等于（ ）.
A.2cm B.1cm C.1.5cm D.3cm

【答案】B；
2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）.
A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
【答案】C；
【解析】它们都是特殊的平行四边形，所以共有的性质就是平行四边形具有的性质.
3.如图所示，将一张矩形纸ABCD沿着GF折叠(F在BC边上，不与B，C重合)，使得C点落在矩形ABCD的内部点E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足( )．

A．90°＜α＜180° B．α＝90°
C．0°＜α＜90° D．α随着折痕位置的变化而变化
【答案】B；
【解析】由△GCF≌△GEF得∠GFC＝∠EFG，又有∠EFH＝∠BFH，
所以∠GFH＝×180°＝90°，所以α＝90°
4.如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
5.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A. 对角线相等； B. 对角线互相垂直；
C. 每条对角线平分一组对角； D. 对角线互相平分.
【答案】A
6.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（　　）.
A．4cm B.6cm C.8cm D.10cm

【答案】A；
【解析】由折叠知，四边形为正方形，
CD=CE=BC-BE=10-6=4（cm）.
7. 矩形对角线相交成钝角120°，短边长为2.8，则对角线的长为（ ）.
A．2.8 B．1.4 C．5.6 D．11.2
【答案】C；
8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝，则菱形ABCD的周长为（ ）.
A． B． C． D．

【答案】C；
【解析】OE＝，则AD＝，菱形周长为4×＝.
二.填空题
9．如图，若口ABCD与口EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．

【答案】45；
10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长为12，则对角线长为__________.
【答案】24；
11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．

【答案】；
【解析】过D作DH⊥OC于H，则CH＝DH＝，所以D的坐标为
12.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，已知△CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是 cm.

【答案】48；
13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _________.

【答案】16；
【解析】证△ABE≌△ADF，四边形AECF的面积为正方形ABCD的面积.
14．已知菱形ABCD的面积是12，对角线AC＝4，则菱形的边长是______．
【答案】；
【解析】设BD＝，，所以边长＝.
15. （扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为　　．


.【答案】24．
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE=3，且点E为线段AD的中点，
∴AD=2OE=6．
C菱形ABCD=4AD=4×6=24．
故答案为：24．
16.（昆明校级期中）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为　　．

【答案】6.
【解析】∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°﹣60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6．
故答案是：6．
三.解答题
17. （吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．

【解析】
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∴四边形AODE是矩形．
18.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．
（1）证明：四边形ADCE是矩形．
（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．

【解析】
证明：（1）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，且BD=CD，
∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）∵四边形ADCE是矩形，
∴OA=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB且OD=.
19.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC．

【解析】
证明：∵DF⊥AE于F，
∴∠DFE=90°
在矩形ABCD中，∠C=90°，
∴∠DFE=∠C，
在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADE=∠DEC，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠AED=∠DEC，
又∵DE是公共边，
∴△DFE≌△DCE，
∴DF=DC．
20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．
（1）求证：BE ＝ DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
A
D
B
E
F
O
C
M


【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．
∵AE ＝ AF，
∴．
∴BE＝DF．
（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA ＝∠DCA＝45°，BC＝DC．
∵BE＝DF，
∴BC－BE＝DC－DF. 即CE＝CF．
∴OE＝OF．
∵OM＝OA，
∴四边形AEMF是平行四边形．
∵AE＝AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．

【过关检测】
一.选择题
1. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的( ).
　
　　A. 　　　B.　　　 C. 　　　D.
【答案】B；
【解析】由题意先证明△AOE≌△COF，∴S阴影=S△COD=S矩形ABCD.
2. 顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）.
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【答案】A；
3.如图，将一个长为，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ ）.
A.10cm2 B.20cm2 C.40cm2 D.80cm2

【答案】A；
【解析】由题意知AC⊥BD,且AC= 4 cm，BD= 5 cm，
所以.
4. 如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点,点R是CD边上的定点。点E、F分别是AP,PR的中点。当点P在BC上从B向C移动时，下列结论成立的是（ ）.
A. 线段EF的长逐渐变大；
B. 线段EF的长逐渐减小；
C. 线段EF的长不改变；
D. 线段EF的长不能确定.

【答案】C；
【解析】由三角形中位线定理，EF长度为AR的一半.
5. 如图是一块矩形ABCD的场地，长AB＝102，宽AD＝51，从A、B两处入口的中路宽都为1，两小路汇合处路宽为2，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( ).

A.5 050 B.4 900 C.5 000 D.4 998
【答案】C；
【解析】根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移1，向下平移1，三块草坪拼成了一个长为100，宽为50的矩形，因此草坪的面积为100×50＝5 000.
6. 如图，矩形ABCD的周长是20，以AB、CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68,那么矩形ABCD的面积是　　）.

A．21 B．16 C．24 D．9
【答案】B；
【解析】设两个正方形的边长分别为,根据题意得：，
则，解得.
7. 正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（ ） .
Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．25
【答案】B；
【解析】1＋2＋3＋4＝周长的一半.
8．（陕西模拟）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　）

A. B. C. D.
【答案】D；
【解析】连接BP，过C作CM⊥BD.
S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ×+BE×PR×=BC×（PQ+PR）×=BE×CM×，
∵BC=BE，
∴PQ+PR=CM，
∵BE=BC=1，且正方形对角线BD=BC=，
又∵BC=CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM=BD=，
即PQ+PR=．
故选：D．

二.填空题
9.（南长区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　 　．

【答案】；
【解析】根据已知条件得四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF中点，
∴AM=EF=AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
∴BC==13，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC=×5×12=×13×AP，
∴AP=，
即AP的范围是AP≥，
∴2AM≥，
∴AM的范围是AM≥，
∵AP＜AC，
即AP＜12，
∴AM＜6，
.
10．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．

【答案】；
【解析】连接CE，因为A，C关于BD对称，所以CE为所求最小值.

11．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2……依此类推，则平行边形的面积为___________．

【答案】；
【解析】 每一次变化，面积都变为原来的.
12. （贵州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为　　．

【答案】30.
【解析】∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，
∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=30．
13.已知菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm. 则菱形的周长是_____cm, 面积是_____ cm2.
【答案】20；24；
14. 如图所示，是一块电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形的面积为________．

【答案】143；
【解析】设正方形①的边长为，则正方形②③④⑤的边长分别为，＋1，＋2，
＋3，则AD＝＋2＋＋3＝2＋5，BC＝＋＋＋1＝3＋1， 所以
2＋5＝3＋1，所以＝4，所以BC＝13，AB＝2＋3＝11．所以矩形面积＝13×11＝143．
15. 如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为________．

【答案】7；
【解析】∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD． 又∵ 以BE为折痕，将△ABE向上翻折到△FBE的位置，∴ AE＝EF，AB＝BF．已知DE＋DF＋EF＝8，即AD＋DF＝8，AD＋DC－FC＝8．∴ BC＋AB－FC＝8．① 又∵ BF＋BC＋FC＝22，即AB＋BC＋FC＝22．②，两式联立可得FC＝7．
16. 如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是，给出如下结论：
① ②
③若，则 ④若，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是___________(把所有正确结论的序号都填在横线上)．

【答案】②④；
【解析】与的面积均为矩形面积的一半，故②正确；，说明这两个三角形的高相等，（底边均为AP），则P点满足在矩形的对角线上.
三.解答题
17. 如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°．CD⊥AD，．

(1)求证：AB＝BC．
(2)当BE⊥AD于E时，试证明BE＝AE＋CD．
【解析】
(1)证明：连接AC
∵ ∠ABC＝90°，∴ ．
∴ CD⊥AD，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ AB＝BC．
(2)证明：过C作CF⊥BE于F．
∵ BE⊥AD，
∴ 四边形CDEF是矩形．
∴ CD＝EF．
∵ ∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，
∴ ∠BAE＝∠CBF，
∴ △BAE≌△CBF．
∴ AE＝BF．
∴ BE＝BF＋EF＝AE＋CD．
18. （衢州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．


【解析】
解：（1）如图所示，EF为所求直线；
（2）四边形BEDF为菱形，理由为：
证明：∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∵BF=DF，
∴BE=ED=DF=BF，
∴四边形BEDF为菱形．

19. 探究问题：
(1)方法感悟：
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵ ∠EAF＝45°∴ ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．
∵ ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．
即∠GAF＝∠________．
又AG＝AE，AF＝AF
∴ △GAF≌△________．
∴ _________＝EF，故DE＋BF＝EF．
(2)方法迁移：
如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．


解：(1)EAF、△EAF、GF．
(2)DE＋BF＝EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，
∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵ ，
∴ ．
∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＋∠3＝．
即∠GAF＝∠EAF．
又AG＝AE，AF＝AF．
∴ △GAF≌△EAF．
∴ GF＝EF．
又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF，
∴ DE＋BF＝EF．
20.在口ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．


(1)在图①中证明CE＝CF；
(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；
(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG(如图③)，求∠BDG的度数．

【解析】
(1)证明：如图①
∵ AF平分∠BAD，
∴ ∠BAF＝∠DAF
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥CD．
∴ ∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F．
∴ ∠CEF＝∠F．
∴ CE＝CF
(2)∠BDG＝45°
(3)解：分别连接GB、GE、GC(如图③)
∵ AB∥DC，∠ABC＝120°
∴ ∠ECF＝∠ABC＝120°
∵ FG∥CE且FG＝CE．
∴ 四边形CEGF是平行四边形．
由(1)得CE＝CF，
平行四边形CEGF是菱形．
∴ EG＝EC，∠GCF＝∠GCE＝∠ECF＝60°
∴ △ECG是等边三角形
∴ EG＝CG， ①
∠GEC＝∠EGC＝60°
∴ ∠GEC＝∠GCF．
∴ ∠BEG＝∠DCG． ②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB．
∴ AB＝BE．
在平行四边形ABCD中，AB＝DC．
∴ BE＝DC． ③
由①②③得△BEG≌△DCG．
∴ BG＝DG．∠1＝∠3．
∴ BGD＝∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60°
∴