华师大版九年级上册第25章 随机事件的概率综合与测试综合训练题

第17讲 概率

       【学习目标】

1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；

2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；

3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；

4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.

        【基础知识】

考点一、用树状图或表格求概率

1.树状图

当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

考点诠释：

(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

2.列表法

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

考点诠释：

（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

3.用列举法求概率的一般步骤

（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；

（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；

（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.

考点二、用频率估计概率

1.频率与概率的定义

    频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.

概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.

2.频率与概率的关系

事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.

考点诠释：

（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；

（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；

（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.

3.利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.

考点诠释：

用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.

   【考点剖析】

考点一：用树状图或表格求概率

例1．同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（    ）

A．  B．  C．  D．

举一反三：

【变式1】袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色放回袋中，充分摇匀后，再随机从中摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（   ）

 A．  B．  C．  D．

【变式2】随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（    ）.

 A．  B．  C．  D．

例2. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（　　）

A． B． C． D．

举一反三：

【变式1】从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为（   ）

A．        B．   　   C．        D．

【变式2】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.

考点二：频率与概率

例2．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（     ）

A. 频率等于概率                   

B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近

C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 

D. 试验得到的频率与概率不可能相等

考点三：利用频率估计概率

例4．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：　　          (1)计算并完成表格：

(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？

　(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？

　(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)

例5.在一个暗箱里放有a个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%．

（1）试求出a的值；

（2）从中任意摸出一个球，下列事件：①该球是红球；②该球是白球；③该球是蓝球．试估计这三个事件发生的可能性的大小，并将三个事件按发生的可能性从小到大的顺序排列（用序号表示事件）．

举一反三：

【变式1】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条．

【变式2】一只箱子里原有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．

（1）从箱子中任意摸出两个球，用树状图或列表法列举出所有可能并求两次摸出球的都是白球的概率．

（2）若从箱子中任意摸出一个球是红球的概率为，则需要再加入几个红球？

考点四：概率的简单应用

例6. 把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上．

（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？

（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王胜；当张牌面数字不相同时，小李胜．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.

举一反三：

【变式】在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．

（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；

（2）这个游戏公平吗？请说明理由．

        【真题演练】

一、选择题

1. 下列说法正确的是（    ）

①试验条件不会影响某事件出现的频率；

②在相同的条件下实验次数越多，就越有可能得到较精确的估计值，但各人所得的值不一定相同；

③如果一枚骰子的质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等；

④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的机会相同．

Ａ.①②  Ｂ.②③  Ｃ.③④  Ｄ.①③

2. 小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏（　　）

A．对小明有利     B．对小亮有利

C．游戏公平       D．无法确定对谁有利

3. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（　　）

A． 频率就是概率

B． 频率与试验次数无关

C． 概率是随机的，与频率无关

D． 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

4. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（　　）

A．   B．   C．    D．

5.从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ）                                                                      

Ａ.  Ｂ.  Ｃ.  Ｄ.不确定

6.随机从三男一女四名学生的学号中抽取两人的学号，被抽中的两人性别不同的概率为（   ）

 A.         B.          C.         D.

二. 填空题

7. 用下面的两个圆盘进行“配紫色”游戏，则配得紫色的概率为______________.

8. 甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？　      　．

9. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：

根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为        （精确到0.1）．

10. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3．估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为　    　．

11.在一个不透明的盒子中装有2个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则___________．

12.为了估计新疆巴音布鲁克草原天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉10只，分别作上记号后放飞；待它们完全混合于天鹅群后，重新捕捉40只天鹅，发现其中有2只有标记，据此可估算出该地区大约有天鹅          只。

三.综合题

13.一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．

(1)求摸出1个球是白球的概率；　　

(2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；　

(3)现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．

14.某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：

（1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1）

（2）请估计当n很大时，频率将会接近　  　，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是　  　；（结果全部精确到0.1）

（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？

15.某学生在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：

（1）请将数据表补充完整.

（2）画出该同学进球次数的频率分布折线图.

（3）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？（结果用小数表示）