2022年上海市杨浦区中考数学三模试卷（Word解析版）

2022年上海市杨浦区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果二次函数的图象全部在轴的上方，那么下列判断中一定正确的是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 一个事件的概率不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知，点、在射线上点在点、之间，半径长为的与直线相切，半径长为的与相交，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48分）

7. 用代数式表示：的倍与的的差：______ ．
8. 分解因式： ______ ．
9. 已知函数，那么______．
10. 计算：______．
11. 已知中，设，，那么______结果用、表示
12. 如果二次函数图象的顶点在轴上，那么的值是______．
13. 已知二次函数图象的对称轴在轴右侧，且在对称轴左侧函数的值随的值增大而增大．请写出一个符合上述条件的二次函数的解析式______只需写一个
14. 如果梯形的下底长为，中位线长为，那么其上底长为______ ．
15. 已知是的弦，如果的半径长为，长为，那么圆心到弦的距离是______ ．
16. 从一栋二层楼的楼顶点处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点处的俯角为，看到楼顶部点处的仰角为，已知两栋楼之间的水平距离为米，那么教学楼的高______米．结果保留根号

17. 新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，联结，如果点是的重心，那么的值是______．

18. 如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点如果点恰好在的平分线上，那么的长为______．

三、计算题（本大题共2小题，共20分）

19. 计算：．
20. 解方程：．

四、解答题（本大题共5小题，共58分）

21. 已知：如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．
    求的正弦值；
    求点到直线的距离．

22. A、两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从城驶往城，乙车从城驶往城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距城高速公路入口处的距离千米与行驶时间时之间的关系如图．
    求关于的函数解析式；
    已知乙车以千米时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为千米时并保持匀速行驶，结果比甲车晚分钟到达终点，求乙车变化后的速度．

23. 已知：如图，在中，，，点、分别是边、的中点，交的延长线于点．
    求证：四边形是菱形；
    联结，如果，求证：．

24. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且．
    求点的坐标；
    将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值；
    如果直线与第小题中的双曲线有两个公共点和，求的值．

25. 已知在中，，是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．
    如图，联结，求证：；
    如图，如果，求的值；
    如果以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的斜边中线与边的交点，且，求边的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数，
故选：．
求一个数的倒数就是把这个数的分子分母交换位置即可，互为倒数的两个数的乘积为．
本题考查实数的性质，做此类型的题目关键在于对实数相关概念如倒数等的理解．
 

2.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据整式的加法、乘法，除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当抛物线开口向上，且抛物线与轴无交点时，图象全部在轴上方，
，抛物线与轴交点在轴上方，即，
故选：．
由次函数的图象全部在轴的上方，可得抛物线开口向上，抛物线与轴交点位置，从而可判定，的符号．
本题考查抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：一个事件的概率不可能是，
故选：．
根据概率的意义，概率公式，即可解答．
本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设与直线相切时切点为，连接，
，
，，
，
当与相内切时，设切点为，如图，
，
；
当与相外切时，设切点为，如图，
，
半径长为的与相交，那么的取值范围是：，
故选：．
作半径，根据直角三角形度角的性质得：，再确认与相切时，的长，可得结论．
本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定的取值范围．
 

7.【答案】 

【解析】解：的倍与的的差为：
故答案为：
用的倍减去的列式得出答案即可．
此题考查列代数式，理解语言叙述的运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式利用十字相乘法分解即可．
此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据已知直接将代入求出答案．
此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键，本题属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式．
分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
由可得出答案．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
，即，
解得．
故答案是：．
因为抛物线顶点在轴上，故函数图象与轴只有一个交点，根据，即可求出的值．
此题考查了二次函数图象与轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：时，图象与轴有两个交点；，图象与轴有一个交点；，图象与轴无交点．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，二次函数的解析式是，
故答案为：．
根据抛物线在对称轴的右侧，且在对称轴左侧函数的值随的值增大而增大，则；根据二次函数图象的对称轴在轴的右侧，，则，即可得到解析式．
此题考查了二次函数的图象性质，能够根据变化规律确定的符号，能够根据对称轴的位置确定的符号．
 

14.【答案】 

【解析】解：设梯形的上底长为；
由题意得：，
解得：，
故答案为．
设出梯形的上底长，直接运用梯形的中位线定理列出关于上底的方程，求出即可解决问题．
该题主要考查了梯形的中位线定理及其应用问题；应牢固掌握梯形的中位线定理并能灵活运用．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：
过点作于点，
，
，
在中，
，，
．
故答案为：．
根据题意画出图形，过点作于点，由垂径定理可得出的长，在中，利用勾股定理及可求出的长．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点．

则米，，，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
米．
故答案为：
过点作于点则米，在中，，解得，在中，，解得，由可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：延长与交于点，

点关于直线的对称点是点，
，，，
是等高底三角形，是等底，
，
点是的重心，
，
设，则，
，

故答案为：．
延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可．
本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系．
 

18.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
设，则，，
，
，
，
，，
平分，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
根据直角三角形的边角关系可求出，，再根据相似三角形，用含有的代数式表示、、，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出，进而列方程求出即可．
本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提，用含有的代数式表示、、是正确解答的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】利用绝对值的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义解答即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，正确利用上述法则与性质进行运算是解题的关键．
 

20.【答案】解：
方程两边同乘，
得，
整理得，，
检验：当时，，
是原方程的解． 

【解析】根据解分式方程的一般步骤计算．
本题考查的是分式方程的解法，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为，所以应如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解．
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为，则整式方程的解不是原分式方程的解．
 

21.【答案】解：过点作于点．
，，
．
在中，，，
，
是的垂直平分线，
，，
，
又，
，
，
即的正弦值为；

过点作于点．
在中，，，，
，
．
在中，，，
，
即点到的距离为． 

【解析】过点作于点由等腰三角形三线合一的性质得出在中，根据正弦函数的定义得出，根据三角形内角和定理求出，则；
过点作于点解直角，求出，则再解直角，求出，即点到的距离为．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设与的函数解析式：，
将点，代入函数解析式，
得，
解得，
；
当时，，
两车相遇时，，
解得，
根据题意，得，
解得，
答：乙车变化后的速度为千米时． 

【解析】待定系数法求解析式；
先求出甲车从到所用时间，再求出两车的相遇时间，根据题意列方程，求解即可．
本题考查了一次函数的应用，涉及待定系数法求解析式，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
如图，设，，则，
，

，
，
，
，
∽，
，即，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
． 

【解析】先根据三角形的中位线定理可得：，，证明四边形为平行四边形，可得，再证明，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可得结论；
如图，设，，则，证明∽，得，并结合勾股定理可得结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质和判定，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，第有难度，证明∽是解题的关键．
 

24.【答案】解：过点作轴于点，如图所示：

则，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
，，
点坐标为；
设沿轴向右平移距离为，
则，，
点、都落在双曲线上，
，
解得，
点，
；
联立，
解得或，
点坐标为，点坐标为，


． 

【解析】过点作轴于点，易证≌，根据全等三角形的性质可得点坐标；
设沿轴向右平移距离为，则，，根据点、都落在双曲线上，列方程求出的值，进一步可求出的值；
联立直线解析式与反比例函数解析式可得点和点坐标，根据可求出的面积．
本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，三角形的面积等，本题综合性较强，构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，
延长，相交于点，
是的平分线，
，
，
，
，
≌，
，
，
在中，，
；

解：如图，
在中，，
设，则，
根据勾股定理得，，
过点作于，
是的平分线，，
，
，
，

，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
；

解：如备用图，
设，则，
是的斜边的中线，
，
，
，
以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的斜边中线与边的交点，
，
，
，
，
，
在中，．
【注】如图，在中，，，平分，
证明：，
证明：设，，
在中，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
，
，
∽，
，
，
或舍去，
过点作于，则，
，
． 

【解析】延长，相交于点，判断出≌，得出，再判断出，即可得出结论；
设，则，，过点作于，利用面积法判断出，进而求出，，进而求出，再判断出∽，得出，即可求出答案；
设，则，进而求出，进而求出，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了角平分线定理，勾股定理，面积法，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键．