2022年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷（Word解析版）

2022年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 某篮球运动员在连续场比赛中的得分单位：分依次为，，，，，，，则这组数据的众数与中位数分别是(    )

A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分

4. 有个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知点与点是直线上的两点，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

6. 九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在▱中，，的平分线分别交于点，，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

9. 如图，中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在平面直角坐标系中，点在直线上上，以为圆心，为半径的圆与轴的另一个交点为，给出如下定义：若线段，和直线上分别存在点，点和点，使得四边形是矩形点，，顺时针排列，则称矩形为直线的“理想矩形”例如，图中的矩形为直线的“理想矩形”，若点，则直线的“理想矩形”的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 分解因式：______．
13. 光速是每秒万公里，每小时公里．用科学记数法表示是______．
14. 若单项式与单项式是同类项，则______．
15. 小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等，则飞镖落在阴影区域的概率是______．

16. 如图，正方形的边长为，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点．则图中阴影部分的面积是______．

17. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是          ．

18. 如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共76分）

19. 计算：．
20. 解不等式组：．
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 已知：如图，，，，相交于点，过点作，垂足为求证：
    ≌．
    ．

23. 为做好新冠疫情大规模人群核酸检测工作，确保在规定时间内保质保量完成划定区域范围内全员核酸检测任务，检测机构在某小区设立、、三个检测点进行核酸检测，该小区业主可在、、三个检测点随机进行检测，张三和李四均按规定完成了核酸检测．
    张三在检测点做核酸检测的概率为______；
    请用列表或画树状图的方法求张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率．
24. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查每位同学只选一类，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
    请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
    
    本次调查中，一共调查了______名同学；
    条形统计图中，______，______；
    扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度；
    学校计划购买课外读物册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？
25. 如图，边长为的正方形的顶点，在轴正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过点，交于．
    当点的坐标为时，求和的值；
    若点是的中点，求的长．

26. 如图，是的弦，为上一点，过点作的垂线与的延长线交于点，连接并延长，与交于点，连接，．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．

27. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点点在点的右边，与轴交于点．
    请直接写出、两点的坐标： ______ ， ______ ；
    若以为直径的圆恰好经过这个二次函数图象的顶点．
    求这个二次函数的表达式；
    若为二次函数图象位于第二象限部分上的一点，过点作平行于轴，交直线于点连接、，是否存在一个点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

28. 【问题提出】如图，正方形中，点是边的中点，点在边上，且，连接、、，求证：是直角三角形．
    【问题探究】如图，正方形的边长为，点在边上，交于点，点在线段上，且，连接．
    当点是边的中点时，求四边形的周长；
    当点在线段上运动时，四边形的周长是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由；
    【问题解决】如图，在条件下，随着点在边上移动，求的最小值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，
，故选项B错误，
，故选项C错误，
，故选项D正确，
故选：．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：将数据重新排列为、、、、、、，
所以这组数据的众数为分、中位数为分，
故选：．
根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形内部有一个圆与矩形的两边相切．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线中，，
随的增大而减小．
，
．
故选A．
先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：．
直接利用“五只雀、六只燕，共重两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，

，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，
函数的对称轴为：，
顶点纵坐标为：，
故顶点的横坐标和纵坐标都为负数，
故选：．
根据当时，，确定，求出顶点坐标，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
通过观察图可以得出，，，由勾股定理可以求出的值，从而得出，，当为的中点时，由勾股定理求出长度．
【解答】
解：因为点是从点出发的，为初始点，
观察图象时，则，从向移动的过程中，是不断增加的，
而从向移动的过程中，是不断减少的，
因此转折点为点，运动到点时，即时，，此时，
即，，，，
，
由勾股定理得：，
解得：，
，，
当点为中点时，，
，
故选D．  

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，连接、，如图．

点的坐标为，
，，．
点在直线上，
，
解得．
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，．
在中，．
在中，．
所求“理想矩形”面积为；
故选：．
过点作轴于点，连接、，如图，根据点在直线上可求出，设直线与轴相交于点，易求出，，根据勾股定理可求出、、的值，从而可求出“理想矩形”面积．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．
根据被开方数是非负数，可得答案．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：．
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：单项式与单项式是同类项，
，
，，
，
故答案为：．
根据同类项的意义，列方程求解即可．
本题考查同类项的意义，理解同类项的意义是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故飞镖落在阴影区域的概率是．
故答案为：．
直接表示出图中阴影部分的面积所占分率，进而得出飞镖落在阴影区域的概率．
此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
，
，，
，
同理，，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出和，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、正方形的性质、扇形面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：抛物线与直线交于，两点，
，，
抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当时，
直线在抛物线的上方，
不等式的解集是．
故答案为．

根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，以为对称轴作的对称点，连接，，
根据轴对称性质可知，，
，
当，，三点共线时，取“”，
正方形边长为，
，
为中点，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
即的最大值为，
故答案为：．
以为对称轴作的对称点，连接，，依据，可得当，，三点共线时，取“”，再求得，即可得出，，再根据为等腰直角三角形，即可得到．
本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

19.【答案】解：

． 

【解析】先计算二次根式、平方、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

20.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先算括号里面的，再算除法，把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

22.【答案】证明在和中，
，
≌；
≌，
，
，
，
． 

【解析】利用证明≌；
根据全等三角形的性质得出，则，根据等腰三角形的性质可得出结论．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：张三在检测点做核酸检测的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能结果，其中张三和李四在同一个检测点做核酸检测有种情况，
张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率是．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】；
  ，    ；
  ；
由题意，得册．
答：学校购买其他类读物册比较合理． 

【解析】

解：根据条形图得出文学类人数为：，利用扇形图得出文学类所占百分比为：，
故本次调查中，一共调查了：人，
故答案为：；

根据科普类所占百分比为：，
则科普类人数为：人，
人，
故，；
故答案为：，；

艺术类读物所在扇形的圆心角是：，
故答案为：；

见答案．
【分析】
结合两个统计图，根据条形图得出文学类人数为：，利用扇形图得出文学类所占百分比为：，即可得出总人数；
利用科普类所占百分比为：，则科普类人数为：人，即可得出的值；
利用乘以对应的百分比即可求解；
根据喜欢其他类读物人数所占的百分比，即可估计册中其他读物的数量；
此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键．  

25.【答案】解：正方形的边长为，点的坐标为，
，，
，
反比例函数在第一象限的图象经过点，
，
反比例为：，
反比例函数在第一象限的图象交于，
；
设则，
反比例函数在第一象限的图象经过点、点，
，
解得，
，
，
． 

【解析】由题意表示出点的坐标，由反比例函数经过点、列出关于的方程，求得的值，进而求得的值．
设则，由反比例函数经过点、列出关于的方程，求得的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点、的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数．
 

26.【答案】证明：连接，
，
，
，
，

，
，
，
，
是的切线；
解：连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
连接，，根据圆周角定理得到，推出，得到，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】在中，
令得，
解得：，，
，，
故答案为：，．
，，
抛物线的对称轴为直线，，
抛物线的顶点坐标为，
以为直径的圆经过这个二次函数图象的顶点，
，
，
这个二次函数的表达式为．
如图所示：

当时，，
，
，
，
，
，
∽，
，
设点，则，
，
解得或不合题意，舍去，
点的坐标为
令，解方程即可得到答案；
根据二次函数的对称性可以表示出顶点坐标，再根据圆的半径相等建立方程即可得到答案；
由得到，再根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、圆的性质、相似三角形和三角函数的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识并能灵活运用是解决问题的关键．
 

28.【答案】证明：四边形是正方形，点是边的中点，且，
，，，
，，
∽，
，
又，
，
，
是直角三角形；
解：由题意知，，，
，
，
∽，
，
又，
，
在中，，
在中，，
四边形的周长为：；
是定值，
设，
，
由得：∽，
，
，
在中，，
在中，，
负值已舍，
四边形的周长为：，
四边形的周长与无关，为定值；
解：由知，，
即当时，有最小值，最小值为，
当点在上移动时，的最小值为． 

【解析】利用两边成比例且夹角相等，可证明∽，得，从而证明结论；
利用两个角相等证明∽，得，可得的长，再利用勾股定理求出和的长，可得答案；
设，由同理，用的代数式表示出、、的长，从而解决问题；
由知，，利用二次函数的性质可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，勾股定理，二次函数的性质等知识，运用含的代数式表示出各线段的长是解题的关键．