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北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算综合与测试课后作业题
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这是一份北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算综合与测试课后作业题，共9页。
第二章 有理数及其运算 周末教案（第二周 课时3）
【知识梳理】
第一节 有理数
知识点一 有理数
1、有理数的概念： 整数 与 分数 统称有理数。
正整数
整数 0 （注意：整数也可看成是分母为1的分数）
有理数（按定义分） 负整数
实数 正分数
分数
负分数
无理数：无理数是 无限不循环 小数，如： π、、0.131131113…… 。（注意：无理数不能化成分数）
有限小数
此外，分数还可以分为 即，有限小数的无限循环小数都可以化成分数。
无限循环小数
正整数
正有理数
正分数
按性质分，有理数也可分为 0
负整数
负有理数
负分数
注意：有限小数或无限循环小数 是 (填“是”或“不是”)分数。常见的小数如：0.125= ；0.25= 。
知识点二、正数与负数
定义：大于0的数叫做正数，在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫负数。
数（0除外）前面带“+”号或无符号的为正数；
看符号 数（0除外）前面带“-”号的数为负数；
注意：0既不是正数，也不是负数，但0是整数，也是最小的自然数；
非负数包括 0 和 正数 ；非正数包括 0 和 负数 。 .
表示相反意义的量：在表示相反意义的两个量中，把一个规定为正，那么另一个就为负。
知识点三、数的集合
把满足某一条件的 所有数 放在一起，就组成了一类数的集合。
【习题精练】
【例1】下列说法中正确的是（ ）
A．非负有理数就是正有理数 B．零表示没有，不是自然数
C．正整数和负整数统称为整数 D．整数和分数统称为有理数
【例2】在下列各数，，3.141592，-6，，中，有理数的个数有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 个
【例3】小虫从点A出发，在一水平直线上来回爬行，假定向右爬行为正，向左爬行为负，爬行的各段路程(单位：cm)依次记录为： +5，﹣2，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10. 小虫最后回到了出发点A吗？
第二节 数轴
知识点四 数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
认识数轴 （2）数轴三要素： 原点 、 正方向 和 单位长度 ；
（3）通常规定向右为正；
（4）数轴上的点与 实数 （包括有理数和无理数）是一一对应的。
一画：画一条直线（一般是水平直线）；
二取：选取原点，并用这点表示数学“0”；
三定：确定正方向，用箭头表示（一般规定向右为正）；
四统一：单位长度应统一；
画 法 从原点向右表示正数区域，序号从左至右；
五标数 从原点向左表示负数区域，序号从右至左；
数标注在直线刻度下方；
注意：画数轴时不要把直线画成线段或射线，不要丢掉正方向。
则原点右侧的点表示 正 数，原点左侧的点表示 负 数，；
数轴的应用 数轴上的两个点表示的两个数，右边的总比左边的大；
（若取向右为正方向） 在两个相邻的整数之间有 无数 个数（包括有理数和无理灵敏）；
没有 (填“有”或“没有”)最大的正数，也 没有 (填“有”或“没有”)最小的正数；
没有 (填“有”或“没有”)最大的负数，也 没有 (填“有”或“没有”)最小的负数；
☆在数轴上求两个点的距离，用 “作差” 法，即用右边数字减去左边数字即可。
到某个点距离相等的点通常有 2 个，一左一右。
【例4】下列说法错误的有( )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（1）数轴就是一条直线；（2）数轴上的一点，只能够代表一个实数；（3）数轴上，原点左边的点所代表的数一定比原点右边 的点所代表的数小；（4）数轴上-4和6两个点的距离是 -4+6=2。
【例5】如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．（a﹣1）（b﹣1）＞0 D．（a+1）（b﹣1）＞0
（例5）
第3节 绝对值
知识点3 相反数
代数意义：如果两个数只有符号不同，那么我们称为其中一个数是另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数；
特殊规定：0的相反数是0；
几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点分别位于 原点 两侧，且两点到原点的距离 相等 。
注意：相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数。
☆相反数的性质：若a、b互为相反数，则a+b=0；反过来，若a+b=0，则a、b互为相反数。
注意 （1）a的相反数是-a，但-a不一定是负数；
（2）求一个式子的相反数，一定要将整个式子加上括号，再在括号前面添上“-”。（即每一项符号都相反）
多重符号的化简：根据“负负得正”原则，当“-”的个数为奇数时，这个数为负；当“-”的个数为偶数时，这个数为正。
即可根据“奇负偶正”的原则直接写出结果；
a与-a互为 相反数 ；a-b的相反数是 b-a 。
结论：若a、b互为相反数，则a+b= 0 ；= -1 （0除外）。
【例6】如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数﹣对应的点（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
（例6）
【例7】2m是 的相反数；π-3的相反数是 。
【例8】已知m+n=0，n+p=0，m-q=0，则（ ）
A. p与q相等 B. m与p互为相反数 C. m与n相等 D. n与p相等
知识点4 绝对值
几何意义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值；
正数的绝对值是它本身；
代数意义 负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0；
（1）互为相反数的两个数的绝对值相等，而绝对值相等的两个数相等或互为相反数；
（2）求一个数的绝对值的方法：要“先判后去”，即先判断这个数是正数、0、还是负数，再由绝对值的意义去掉这个注意 数的绝对值符号；
（3）绝对值等于它本身的数是非负数，绝对值等于它的相反数的数非正数。（在实际运用中易漏“0”）
任何有理数的绝对值都是非负数，即 ≥ 0；
拓展：若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。即若，则有 = 0， = 0；
☆去绝对值，用式子表示为 同理，；
若、互为相反数，则 = 0， = 0；
利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而 小 （此外，还可利用数轴比较大小）；
利用“作差”比较两个数的大小：①若a-b＞0，则a ＞ b；②若a-b＜0，则 a＜ b；③若a-b=0，则a = b。
【例9】如果=4，=8，且a在数轴上对应的点位于原点的右边，b在数轴上对应的点位于原点的左边，那边在数轴上这两个点的 距离是 .
【例10】已知|x﹣2006|+|y+2007|=0，则（ ）
A．x＜y B．x＞y C．x＜﹣y＜0 D．x＞﹣y＞0
【例11】已知|a+1|与|b﹣4|互为相反数，则ab的值是（ ）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【例12】数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为( )
A. ﹣3+5 B. ﹣3﹣5 C. |﹣3+5| D. |﹣3﹣5|
【例13】在：0，﹣2，1，2这四个数中，最小的数是( ) A. 0 B. ﹣2 C. 1 D. 2
【例14】下列说法正确的是（ ）
A．分数都是有理数 B．﹣a是负数
C．有理数不是正数就是负数 D．绝对值等于本身的数是正数
【例15】下列关于“1”的说法中，错误的是( )
A. 1的绝对值是1 B. 1的倒数是1 C. 1的相反数是1 D. 1是最小的正整数
【例16】若x为实数，则代数式|x|﹣x的值一定是( ) A. 正数 B. 非正数 C. 非负数 D. 负数
【习题精练】
1、冰箱冷藏室的温度零上5℃，记作+5℃，保鲜室的温度零下7℃，记作（ ）
A．7℃ B．﹣7℃ C．2℃ D．﹣12℃
2、如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
3、如图，如果数轴上A，B两点表示的数互为相反数，那么点B表示的数为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
（3题）
4、如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣2的相反数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
（4题）
5、在﹣，0，，﹣1这四个数中，最小的数是（ ）A．﹣ B．0 C． D．﹣1
6、绝对值最小的有理数是（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．不存在
7、A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是( )
A. B. C. D.
8、a，b在数轴上的位置如图，化简|a+b|的结果是（ ）
A．﹣a﹣b B．a+b C．a﹣b D．b﹣a
9、代数式﹣2a+1与1+4a互为相反数，则a= ．
10、|﹣0.3|的相反数等于 ．
11、若|m﹣2|+|n+3|=0，求m+n的值．
12、如图，数轴的单位长度为1，如果R表示的数是﹣1，则数轴上表示相反数的两点是 ．
（12题）
13、某种零件，标明要求是20±0.02 mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm，该零件 （填“合格”或“不合格”）。
14、在数轴上表示下列各数：﹣1，|﹣2|，0.，，并用“＜”连接起来．
【提高训练】
☆15、若a＞1，则a，，在数轴上对应的点分别记为A，B，C，那么这三点自左向右的顺序是 ．
☆16、﹣a﹣b+c的相反数是 ．
【培优训练】
☆17、已知|a|＞|b|，a＜0，b＞0，试比较a，b，﹣a，﹣b的大小 ．（用“＜”连接）
第二章 有理数及其运算 周末教案（第二周 课时4）
【知识梳理】
第4节 有理数的加法
☆知识点一、有理数的加法法则
同号两数相加，取 相同 的符号，并把 绝对值 相加；
异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数），和为 0 ；
异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值 较大 的数的符号，并用 较大 的绝对值减去 较小 的绝对值；
（先正负抵消，正得多取正号，负得多取负号）
一个数同0相加,仍得 这个数 ；
有理数的加法运算：(1) 符号 的确定；(2) 绝对值 的计算.（先确定符号，再确定数值（绝对值相加或相减）。）
知识点二、有理数加法的运算律
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为 a+b=b+a 。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为 (a+b)+c=a+(b+c) 。
应用：在做加法运算时，能简便计算的要简便计算，一般把具有以下特征的数先交换、结合相加：①互为相反数的两个数；②符 号相同的数；③相加能得到整数的数；④分母相同的数；⑤易于通分的数。
注意：移动加数位置时，一定要连同数的符号。
【例1】已知x＜0，y＞0，且|x|＞|y|，则x+y的值是（ ） A．非负数 B．负数 C．正数 D．0
【例2】某天早晨的气温是﹣6℃，中午上升了12℃，则中午的气温是 ℃。
【例3】计算题：（1）5.6+4.4+（﹣8.1） （2）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）
（3）+（﹣）+ （4）5
☆【例4】已知|a|=2，|b|=3，求a+b的值．
第5节 有理数的减法
知识点三、有理数的减法法则
有理数的减法法则：减去一个数，等于 加上这个数的相反数 。在有理数的加减混合运算中，常常先把减法运算转化为 加法运算 。
减法运算步骤：“两变一不变”，一变运算符号，减号变加号；二变减数，减数变为它的相反数；“一不变”即被减数不变。
再运用加法法则进行计算。
注意：有理数减法中，被减数与减数不能互换，即：减法没有交换律。
☆数轴上两点间的距离公式：数轴上两点间的距离等于这两点表示的两个数之差的绝对值。（或用较大的数减去较小的数即可）
【例5】我县某地2016年元旦的最高气温为7℃，最低气温为﹣2℃，那么该地这天的最高气温比最低气温高（ ）
A．﹣9℃ B．﹣5℃ C．5℃ D．9℃
【例6】下列判断中，正确的是（ ）
A．若a是有理数，则|a|﹣a=0一定成立 B．两个有理数的和一定大于每个加数
C．两个有理数的差一定小于被减数 D．0减去任何数都等于这个数的相反数
【例7】比﹣3小9的数是 ；比﹣2多﹣5的数是 ．
☆【例8】若|a|=8，b=5，且a+b＜0，那么a﹣b= ．
第6节 有理数的加减混合运算
知识点四、有理数的加减混合运算
加减混合运算可以先统一为加法运算，再利用加法运算律简化运算。
省略形式的读法有两种，一是把符号当作性质符号来读，二是把符号当作运算符号来读。
例如：a-b+c可读作“a减b加c”，也可读作“正a、负b，正c的和”
☆在省略符号和括号的过程中，若括号前面是“+”，则省略后，括号内各项不变；若括号前是“-”，则省略后，括号内各项变 为原来的相反数。
加法运算律在有理数加减法混合运算中的运算原则：正数和负数分别相结合；分母相同的分数或比较容易通分的分数相结合；互 为相反数的两数相结合；其和为整数的两数相结合；带分数一般化为假分数或整数和分数两部分后，再分别相加。
运用加法交换律交换加数的位置时，要连同数前面的符号一起交换。
【例9】一天早晨的气温是﹣7℃，中午上升了11℃，晚上又下降了9℃，晚上的气温是（ ）
A．﹣5℃ B．﹣6℃ C．﹣7℃ D．﹣8℃
【例10】不改变原式的值，将式子12﹣（+3）﹣（﹣4）+（﹣6）中的减法改成加法并省略括号、加号，则正确的结果是（ ）
A．﹣12﹣3+4﹣6 B．12﹣3﹣4﹣6 C．12﹣3+4﹣6 D．12+3﹣4﹣6
【例11】计算：（﹣40）﹣（﹣28）﹣（﹣19）+（﹣24） 19（﹣5）+（﹣9）﹣1.25．
知识点五、水位的变化问题
水位的变化问题中，“+”“-”的含义一般有以下两种：
（1）“+”表示水位比前一天上升，“-”表示水位比前一天下降，参考对象是前一天的水位；
（2）“+”表示比某一参考水位上升，“-”表示比某一参考水位下降，参考对象是某一具体水位；
为了更形象地反映水位的升降情况，可以用拆线统计图表示。
【例12】某水库的平均水位为80米，在此基础上，若水位变化时，把水位上升记为正数；水库管理员记录了3月～8月水位变化的情 况（单位：米）：﹣5，﹣4，0，+3，+6，+8．试问这几个月的实际水位是多少米？
1、 求﹣7，﹣12，2三个数的绝对值的和是（ D ）A．﹣17 B．﹣7 C．7 D．21
2、已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为30m，﹣15m，﹣9m，那么最高的地方比最低的地方高 m．
3、我们规定“※”是一种数学运算符号，A※B=（A+B）﹣（A﹣B），那么3※（﹣5）= ．
4、将一根12cm长的木棒和一根9cm长的木棒捆在一起，长度为17cm，则两根木棒的捆绑长度（重叠部分的长度）为 cm．
5、把（+5）﹣（﹣7）+（﹣23）﹣（+6）写成省略括号的和的形式为 ．
6、计算
（1）（﹣9）+15 （2）（﹣18）+（+53）+（﹣53.6）+（+18）+（﹣100）
7、已知10箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下：+0.2，﹣0.2， +0.7，﹣0.3，﹣0.4，+0.6，0，﹣0.1，+0.3，﹣0.2，
（1）求10箱苹果的总重量；（2）若每箱苹果的重量标准为15±0.5（千克），则这10箱有几箱不符合标准的？
【提高训练】
☆8、已知|x|=2，|y|=5，且x＞y，则x+y= ．
☆9、计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016的结果是 ．
【培优训练】
☆☆10、实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高 度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对 观测点B的高度是（ ）米． A．210 B．130 C．390 D．﹣210
（10题）
七（上）第二章 有理数 强化班教案（第二周 强化训练2）
1、中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记 作+100元．那么﹣80元表示（ ）。 A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
2、﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
3、如果两数相加，和小于任何一个加数，那么这两个数( )
A. 同为正数 B. 同为负数 C. 一正一负 D. 有一个加数为0.
4、0是（ ）A．正有理数 B．负有理数 C．整数 D．负整数
5、下列各数﹣2，3，﹣（﹣0.75），﹣5，4，|﹣9|，﹣3，0，4中，属于整数的有m个，属于正数的有n个，则m，n的值为（ ） A．6，4 B．8，5 C．4，3 D．3，6
6、在数轴上表示﹣3和2016的点之间的距离是（ ）
A．2016 B．2013 C．2019 D．﹣2019
7、数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（ ）
A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5|
8、已知|3x﹣1|+|y﹣3|=0，则|6x﹣y|的值为（ ）A．1 B．3 C．5 D．15
9、设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（ ）
A．2015x B．x+2015 C．|2015x| D．|x|+2015
10、下列结论中，正确的是（ ）
A．﹣a一定是负数 B．﹣|a|一定是非正数 C．|a|一定是正数 D．﹣|a|一定是负数
11、下列各数中，绝对值最大的数是（ ） A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣2
12、下列四个数中，最小的正数是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2
13、计算3﹣（﹣6）的结果等于（ ）A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9
14、把（﹣3）+（﹣4）﹣（+11）﹣（﹣19）写成省掉括号的和的形式是（ ）
A．﹣3﹣4﹣11﹣19 B．﹣3﹣4+11﹣19 C．﹣3﹣4+11+19 D．﹣3﹣4﹣11+19
15、如果+0.5米表示水位上涨0.5米，则水位下降0.3米可表示为 米。
16、下列各数：﹣（﹣2），|﹣2|，（﹣3），﹣|0|，﹣，其中负数有 个．
17、把下列各数填入表示它所在的数集的括号里．
﹣5，，0.62，4，0，﹣6.4，﹣7，20%，﹣2010，，﹣|﹣（+7.6）|，π．
（1）有理数集合{ …}
（2）整数集合{ …}
（3）分数集合{ | …}
18、已知|a+2|=0，则a= ．
19、比2大﹣1的是 ．
20、﹣1与﹣7差的绝对值是 ．
21、计算
①﹣17+23+（﹣16）+（﹣7）； ②（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）；
③3+（﹣）﹣（﹣）+2； ④（+1）﹣（+6）﹣2.25+．
22、根据给出的数轴，回答下列问题：（1）写出点A表示的数的相反数和点B表示的数的绝对值；（2）将点A先向右移动1.5个单 位长度，再向左移动5个单位长度，得到点C，在数轴上表示出点C，并写出点C表示的数．
（22题）
【提高训练】
☆23、已知a和b是有理数，若a+b=0，a2+b2≠0，则在a和b之间一定（ ）
A．存在负整数 B．存在正整数 C．存在一个正数和负数 D．不存在正分数
24、绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）
25、下列说法不正确的是（ ）
A．绝对值相等的两个有理数，它们的差是0 B．一个有理数减零所得的差是它本身
C．互为相反数的两个有理数，它们的和是0 D．零减去一个有理数所得的差是这个有理数的相反数
【培优训练】☆26、“△”表示一种新的运算符号，已知：2△3=2﹣3+4，7△2=7﹣8，3△5=3﹣4+5﹣6+7，…；按此规则，计算：（1） 10△3= ；（2）若x△7=2003，则x= ．
【附加题】
1、若|a|=﹣a，则a= ．
2、a为有理数，则﹣|a|表示（ ）A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0
3、当x= 时，代数式|x﹣6|+3有最小值，最小值是 ．
4、如果|a﹣2|+|b+1|=0，那么a+b等于 ．
5、计算：
（1）（﹣37）﹣（﹣47）= （2）（﹣53）﹣16= （3）（﹣210）﹣87= （4）1.3﹣（﹣2.7）=
第二章 有理数及其运算 周末教案（第二周 课时3）
【知识梳理】
第一节 有理数
知识点一 有理数
1、有理数的概念： 整数 与 分数 统称有理数。
正整数
整数 0 （注意：整数也可看成是分母为1的分数）
有理数（按定义分） 负整数
实数 正分数
分数
负分数
无理数：无理数是 无限不循环 小数，如： π、、0.131131113…… 。（注意：无理数不能化成分数）
有限小数
此外，分数还可以分为 即，有限小数的无限循环小数都可以化成分数。
无限循环小数
正整数
正有理数
正分数
按性质分，有理数也可分为 0
负整数
负有理数
负分数
注意：有限小数或无限循环小数 是 (填“是”或“不是”)分数。常见的小数如：0.125= ；0.25= 。
知识点二、正数与负数
定义：大于0的数叫做正数，在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫负数。
数（0除外）前面带“+”号或无符号的为正数；
看符号 数（0除外）前面带“-”号的数为负数；
注意：0既不是正数，也不是负数，但0是整数，也是最小的自然数；
非负数包括 0 和 正数 ；非正数包括 0 和 负数 。 .
表示相反意义的量：在表示相反意义的两个量中，把一个规定为正，那么另一个就为负。
知识点三、数的集合
把满足某一条件的 所有数 放在一起，就组成了一类数的集合。
【习题精练】
【例1】下列说法中正确的是（ ）
A．非负有理数就是正有理数 B．零表示没有，不是自然数
C．正整数和负整数统称为整数 D．整数和分数统称为有理数
【例2】在下列各数，，3.141592，-6，，中，有理数的个数有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 个
【例3】小虫从点A出发，在一水平直线上来回爬行，假定向右爬行为正，向左爬行为负，爬行的各段路程(单位：cm)依次记录为： +5，﹣2，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10. 小虫最后回到了出发点A吗？
第二节 数轴
知识点四 数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
认识数轴 （2）数轴三要素： 原点 、 正方向 和 单位长度 ；
（3）通常规定向右为正；
（4）数轴上的点与 实数 （包括有理数和无理数）是一一对应的。
一画：画一条直线（一般是水平直线）；
二取：选取原点，并用这点表示数学“0”；
三定：确定正方向，用箭头表示（一般规定向右为正）；
四统一：单位长度应统一；
画 法 从原点向右表示正数区域，序号从左至右；
五标数 从原点向左表示负数区域，序号从右至左；
数标注在直线刻度下方；
注意：画数轴时不要把直线画成线段或射线，不要丢掉正方向。
则原点右侧的点表示 正 数，原点左侧的点表示 负 数，；
数轴的应用 数轴上的两个点表示的两个数，右边的总比左边的大；
（若取向右为正方向） 在两个相邻的整数之间有 无数 个数（包括有理数和无理灵敏）；
没有 (填“有”或“没有”)最大的正数，也 没有 (填“有”或“没有”)最小的正数；
没有 (填“有”或“没有”)最大的负数，也 没有 (填“有”或“没有”)最小的负数；
☆在数轴上求两个点的距离，用 “作差” 法，即用右边数字减去左边数字即可。
到某个点距离相等的点通常有 2 个，一左一右。
【例4】下列说法错误的有( )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（1）数轴就是一条直线；（2）数轴上的一点，只能够代表一个实数；（3）数轴上，原点左边的点所代表的数一定比原点右边 的点所代表的数小；（4）数轴上-4和6两个点的距离是 -4+6=2。
【例5】如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．（a﹣1）（b﹣1）＞0 D．（a+1）（b﹣1）＞0
（例5）
第3节 绝对值
知识点3 相反数
代数意义：如果两个数只有符号不同，那么我们称为其中一个数是另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数；
特殊规定：0的相反数是0；
几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点分别位于 原点 两侧，且两点到原点的距离 相等 。
注意：相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数。
☆相反数的性质：若a、b互为相反数，则a+b=0；反过来，若a+b=0，则a、b互为相反数。
注意 （1）a的相反数是-a，但-a不一定是负数；
（2）求一个式子的相反数，一定要将整个式子加上括号，再在括号前面添上“-”。（即每一项符号都相反）
多重符号的化简：根据“负负得正”原则，当“-”的个数为奇数时，这个数为负；当“-”的个数为偶数时，这个数为正。
即可根据“奇负偶正”的原则直接写出结果；
a与-a互为 相反数 ；a-b的相反数是 b-a 。
结论：若a、b互为相反数，则a+b= 0 ；= -1 （0除外）。
【例6】如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数﹣对应的点（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
（例6）
【例7】2m是 的相反数；π-3的相反数是 。
【例8】已知m+n=0，n+p=0，m-q=0，则（ ）
A. p与q相等 B. m与p互为相反数 C. m与n相等 D. n与p相等
知识点4 绝对值
几何意义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值；
正数的绝对值是它本身；
代数意义 负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0；
（1）互为相反数的两个数的绝对值相等，而绝对值相等的两个数相等或互为相反数；
（2）求一个数的绝对值的方法：要“先判后去”，即先判断这个数是正数、0、还是负数，再由绝对值的意义去掉这个注意 数的绝对值符号；
（3）绝对值等于它本身的数是非负数，绝对值等于它的相反数的数非正数。（在实际运用中易漏“0”）
任何有理数的绝对值都是非负数，即 ≥ 0；
拓展：若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。即若，则有 = 0， = 0；
☆去绝对值，用式子表示为 同理，；
若、互为相反数，则 = 0， = 0；
利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而 小 （此外，还可利用数轴比较大小）；
利用“作差”比较两个数的大小：①若a-b＞0，则a ＞ b；②若a-b＜0，则 a＜ b；③若a-b=0，则a = b。
【例9】如果=4，=8，且a在数轴上对应的点位于原点的右边，b在数轴上对应的点位于原点的左边，那边在数轴上这两个点的 距离是 .
【例10】已知|x﹣2006|+|y+2007|=0，则（ ）
A．x＜y B．x＞y C．x＜﹣y＜0 D．x＞﹣y＞0
【例11】已知|a+1|与|b﹣4|互为相反数，则ab的值是（ ）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【例12】数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为( )
A. ﹣3+5 B. ﹣3﹣5 C. |﹣3+5| D. |﹣3﹣5|
【例13】在：0，﹣2，1，2这四个数中，最小的数是( ) A. 0 B. ﹣2 C. 1 D. 2
【例14】下列说法正确的是（ ）
A．分数都是有理数 B．﹣a是负数
C．有理数不是正数就是负数 D．绝对值等于本身的数是正数
【例15】下列关于“1”的说法中，错误的是( )
A. 1的绝对值是1 B. 1的倒数是1 C. 1的相反数是1 D. 1是最小的正整数
【例16】若x为实数，则代数式|x|﹣x的值一定是( ) A. 正数 B. 非正数 C. 非负数 D. 负数
【习题精练】
1、冰箱冷藏室的温度零上5℃，记作+5℃，保鲜室的温度零下7℃，记作（ ）
A．7℃ B．﹣7℃ C．2℃ D．﹣12℃
2、如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
3、如图，如果数轴上A，B两点表示的数互为相反数，那么点B表示的数为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
（3题）
4、如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣2的相反数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
（4题）
5、在﹣，0，，﹣1这四个数中，最小的数是（ ）A．﹣ B．0 C． D．﹣1
6、绝对值最小的有理数是（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．不存在
7、A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是( )
A. B. C. D.
8、a，b在数轴上的位置如图，化简|a+b|的结果是（ ）
A．﹣a﹣b B．a+b C．a﹣b D．b﹣a
9、代数式﹣2a+1与1+4a互为相反数，则a= ．
10、|﹣0.3|的相反数等于 ．
11、若|m﹣2|+|n+3|=0，求m+n的值．
12、如图，数轴的单位长度为1，如果R表示的数是﹣1，则数轴上表示相反数的两点是 ．
（12题）
13、某种零件，标明要求是20±0.02 mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm，该零件 （填“合格”或“不合格”）。
14、在数轴上表示下列各数：﹣1，|﹣2|，0.，，并用“＜”连接起来．
【提高训练】
☆15、若a＞1，则a，，在数轴上对应的点分别记为A，B，C，那么这三点自左向右的顺序是 ．
☆16、﹣a﹣b+c的相反数是 ．
【培优训练】
☆17、已知|a|＞|b|，a＜0，b＞0，试比较a，b，﹣a，﹣b的大小 ．（用“＜”连接）
第二章 有理数及其运算 周末教案（第二周 课时4）
【知识梳理】
第4节 有理数的加法
☆知识点一、有理数的加法法则
同号两数相加，取 相同 的符号，并把 绝对值 相加；
异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数），和为 0 ；
异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值 较大 的数的符号，并用 较大 的绝对值减去 较小 的绝对值；
（先正负抵消，正得多取正号，负得多取负号）
一个数同0相加,仍得 这个数 ；
有理数的加法运算：(1) 符号 的确定；(2) 绝对值 的计算.（先确定符号，再确定数值（绝对值相加或相减）。）
知识点二、有理数加法的运算律
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为 a+b=b+a 。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为 (a+b)+c=a+(b+c) 。
应用：在做加法运算时，能简便计算的要简便计算，一般把具有以下特征的数先交换、结合相加：①互为相反数的两个数；②符 号相同的数；③相加能得到整数的数；④分母相同的数；⑤易于通分的数。
注意：移动加数位置时，一定要连同数的符号。
【例1】已知x＜0，y＞0，且|x|＞|y|，则x+y的值是（ ） A．非负数 B．负数 C．正数 D．0
【例2】某天早晨的气温是﹣6℃，中午上升了12℃，则中午的气温是 ℃。
【例3】计算题：（1）5.6+4.4+（﹣8.1） （2）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）
（3）+（﹣）+ （4）5
☆【例4】已知|a|=2，|b|=3，求a+b的值．
第5节 有理数的减法
知识点三、有理数的减法法则
有理数的减法法则：减去一个数，等于 加上这个数的相反数 。在有理数的加减混合运算中，常常先把减法运算转化为 加法运算 。
减法运算步骤：“两变一不变”，一变运算符号，减号变加号；二变减数，减数变为它的相反数；“一不变”即被减数不变。
再运用加法法则进行计算。
注意：有理数减法中，被减数与减数不能互换，即：减法没有交换律。
☆数轴上两点间的距离公式：数轴上两点间的距离等于这两点表示的两个数之差的绝对值。（或用较大的数减去较小的数即可）
【例5】我县某地2016年元旦的最高气温为7℃，最低气温为﹣2℃，那么该地这天的最高气温比最低气温高（ ）
A．﹣9℃ B．﹣5℃ C．5℃ D．9℃
【例6】下列判断中，正确的是（ ）
A．若a是有理数，则|a|﹣a=0一定成立 B．两个有理数的和一定大于每个加数
C．两个有理数的差一定小于被减数 D．0减去任何数都等于这个数的相反数
【例7】比﹣3小9的数是 ；比﹣2多﹣5的数是 ．
☆【例8】若|a|=8，b=5，且a+b＜0，那么a﹣b= ．
第6节 有理数的加减混合运算
知识点四、有理数的加减混合运算
加减混合运算可以先统一为加法运算，再利用加法运算律简化运算。
省略形式的读法有两种，一是把符号当作性质符号来读，二是把符号当作运算符号来读。
例如：a-b+c可读作“a减b加c”，也可读作“正a、负b，正c的和”
☆在省略符号和括号的过程中，若括号前面是“+”，则省略后，括号内各项不变；若括号前是“-”，则省略后，括号内各项变 为原来的相反数。
加法运算律在有理数加减法混合运算中的运算原则：正数和负数分别相结合；分母相同的分数或比较容易通分的分数相结合；互 为相反数的两数相结合；其和为整数的两数相结合；带分数一般化为假分数或整数和分数两部分后，再分别相加。
运用加法交换律交换加数的位置时，要连同数前面的符号一起交换。
【例9】一天早晨的气温是﹣7℃，中午上升了11℃，晚上又下降了9℃，晚上的气温是（ ）
A．﹣5℃ B．﹣6℃ C．﹣7℃ D．﹣8℃
【例10】不改变原式的值，将式子12﹣（+3）﹣（﹣4）+（﹣6）中的减法改成加法并省略括号、加号，则正确的结果是（ ）
A．﹣12﹣3+4﹣6 B．12﹣3﹣4﹣6 C．12﹣3+4﹣6 D．12+3﹣4﹣6
【例11】计算：（﹣40）﹣（﹣28）﹣（﹣19）+（﹣24） 19（﹣5）+（﹣9）﹣1.25．
知识点五、水位的变化问题
水位的变化问题中，“+”“-”的含义一般有以下两种：
（1）“+”表示水位比前一天上升，“-”表示水位比前一天下降，参考对象是前一天的水位；
（2）“+”表示比某一参考水位上升，“-”表示比某一参考水位下降，参考对象是某一具体水位；
为了更形象地反映水位的升降情况，可以用拆线统计图表示。
【例12】某水库的平均水位为80米，在此基础上，若水位变化时，把水位上升记为正数；水库管理员记录了3月～8月水位变化的情 况（单位：米）：﹣5，﹣4，0，+3，+6，+8．试问这几个月的实际水位是多少米？
1、 求﹣7，﹣12，2三个数的绝对值的和是（ D ）A．﹣17 B．﹣7 C．7 D．21
2、已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为30m，﹣15m，﹣9m，那么最高的地方比最低的地方高 m．
3、我们规定“※”是一种数学运算符号，A※B=（A+B）﹣（A﹣B），那么3※（﹣5）= ．
4、将一根12cm长的木棒和一根9cm长的木棒捆在一起，长度为17cm，则两根木棒的捆绑长度（重叠部分的长度）为 cm．
5、把（+5）﹣（﹣7）+（﹣23）﹣（+6）写成省略括号的和的形式为 ．
6、计算
（1）（﹣9）+15 （2）（﹣18）+（+53）+（﹣53.6）+（+18）+（﹣100）
7、已知10箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下：+0.2，﹣0.2， +0.7，﹣0.3，﹣0.4，+0.6，0，﹣0.1，+0.3，﹣0.2，
（1）求10箱苹果的总重量；（2）若每箱苹果的重量标准为15±0.5（千克），则这10箱有几箱不符合标准的？
【提高训练】
☆8、已知|x|=2，|y|=5，且x＞y，则x+y= ．
☆9、计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016的结果是 ．
【培优训练】
☆☆10、实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高 度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对 观测点B的高度是（ ）米． A．210 B．130 C．390 D．﹣210
（10题）
七（上）第二章 有理数 强化班教案（第二周 强化训练2）
1、中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记 作+100元．那么﹣80元表示（ ）。 A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
2、﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
3、如果两数相加，和小于任何一个加数，那么这两个数( )
A. 同为正数 B. 同为负数 C. 一正一负 D. 有一个加数为0.
4、0是（ ）A．正有理数 B．负有理数 C．整数 D．负整数
5、下列各数﹣2，3，﹣（﹣0.75），﹣5，4，|﹣9|，﹣3，0，4中，属于整数的有m个，属于正数的有n个，则m，n的值为（ ） A．6，4 B．8，5 C．4，3 D．3，6
6、在数轴上表示﹣3和2016的点之间的距离是（ ）
A．2016 B．2013 C．2019 D．﹣2019
7、数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（ ）
A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5|
8、已知|3x﹣1|+|y﹣3|=0，则|6x﹣y|的值为（ ）A．1 B．3 C．5 D．15
9、设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（ ）
A．2015x B．x+2015 C．|2015x| D．|x|+2015
10、下列结论中，正确的是（ ）
A．﹣a一定是负数 B．﹣|a|一定是非正数 C．|a|一定是正数 D．﹣|a|一定是负数
11、下列各数中，绝对值最大的数是（ ） A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣2
12、下列四个数中，最小的正数是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2
13、计算3﹣（﹣6）的结果等于（ ）A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9
14、把（﹣3）+（﹣4）﹣（+11）﹣（﹣19）写成省掉括号的和的形式是（ ）
A．﹣3﹣4﹣11﹣19 B．﹣3﹣4+11﹣19 C．﹣3﹣4+11+19 D．﹣3﹣4﹣11+19
15、如果+0.5米表示水位上涨0.5米，则水位下降0.3米可表示为 米。
16、下列各数：﹣（﹣2），|﹣2|，（﹣3），﹣|0|，﹣，其中负数有 个．
17、把下列各数填入表示它所在的数集的括号里．
﹣5，，0.62，4，0，﹣6.4，﹣7，20%，﹣2010，，﹣|﹣（+7.6）|，π．
（1）有理数集合{ …}
（2）整数集合{ …}
（3）分数集合{ | …}
18、已知|a+2|=0，则a= ．
19、比2大﹣1的是 ．
20、﹣1与﹣7差的绝对值是 ．
21、计算
①﹣17+23+（﹣16）+（﹣7）； ②（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）；
③3+（﹣）﹣（﹣）+2； ④（+1）﹣（+6）﹣2.25+．
22、根据给出的数轴，回答下列问题：（1）写出点A表示的数的相反数和点B表示的数的绝对值；（2）将点A先向右移动1.5个单 位长度，再向左移动5个单位长度，得到点C，在数轴上表示出点C，并写出点C表示的数．
（22题）
【提高训练】
☆23、已知a和b是有理数，若a+b=0，a2+b2≠0，则在a和b之间一定（ ）
A．存在负整数 B．存在正整数 C．存在一个正数和负数 D．不存在正分数
24、绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）
25、下列说法不正确的是（ ）
A．绝对值相等的两个有理数，它们的差是0 B．一个有理数减零所得的差是它本身
C．互为相反数的两个有理数，它们的和是0 D．零减去一个有理数所得的差是这个有理数的相反数
【培优训练】☆26、“△”表示一种新的运算符号，已知：2△3=2﹣3+4，7△2=7﹣8，3△5=3﹣4+5﹣6+7，…；按此规则，计算：（1） 10△3= ；（2）若x△7=2003，则x= ．
【附加题】
1、若|a|=﹣a，则a= ．
2、a为有理数，则﹣|a|表示（ ）A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0
3、当x= 时，代数式|x﹣6|+3有最小值，最小值是 ．
4、如果|a﹣2|+|b+1|=0，那么a+b等于 ．
5、计算：
（1）（﹣37）﹣（﹣47）= （2）（﹣53）﹣16= （3）（﹣210）﹣87= （4）1.3﹣（﹣2.7）=
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