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北师大版八年级上册第七章 平行线的证明综合与测试学案设计
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这是一份北师大版八年级上册第七章 平行线的证明综合与测试学案设计，共10页。学案主要包含了知识梳理，习题精练，提高训练，培优训练等内容，欢迎下载使用。
八（上）第七章 平行线的证明 周末教案（第十五周 课时29）
【知识梳理】
第1节 为什么要证明
知识点一 判断一个数学结论的方法
1. 判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或试验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.
知识点二 为什么要证明
1. 通过观察、实验、猜想或归纳得到的结论中，很多结论都是正确的，但也有某些结论是不正确的，因此，对于通过观察、实现、 猜想或归纳得到的结论，必须通过有理有据的推理，才能说明这个结论正确与否.
2. 检验数学结论常用的方法： 实验 法、 举反例 法、 推理 法等.注意：举反例仅能否定一个结论.
【例1】下列结论正确的是（ ）. A. 若a>b，则a2>b2 B. 若a>b，则a2
知识点三 定义与命题
1. 定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是这个名称和术语的定义.
2. 命题的含义： 判断一件事情 的句子，叫做命题.判断一个语句是否是命题，关键是看这个语句是否对某件事情做出了判 断.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
【例2】下列语句中是命题的有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
①两条直线相交，只有一个交点；②π不是有理数；③如果a=b，那么b=a=4；④对顶角相等；⑤明天会下雨吗？⑥延长线段AB
知识点四 命题的组成
1. 命题的结构特征：一般地，每个命题都由 条件 和 结论 两部分组成， 条件 是已知的事项， 结论 是由已知事项推 断出的事项.命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是 条件，“那么”引出的部分是结论 .
【例3】把下列命题改写成“如果…那么…”的形式.
相等的角是对顶角.答： .
等角的补角相等. 答： .
一个锐角的补角大于这个锐角的余角. 答： .
知识点五 命题的真假
1. 命题的分类：（1）真命题：正确的命题；（2）假命题：不正确的命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具 备命题的 条件 ，而不具备命题的 结论 ，这种例子称为 反例 .
【例4】“如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B相等”是（ ）
A. 真命题 B. 假命题 C. 定义 D. 以上选项都不对
知识点六 公理与定理
1. 公理是公认的真命题（一般不用证明，也证明不了，如“两点之间，线段最短”）.除了公理外，其他命题的真假都需要通过演 绎推理的方法进行判断.
（1） 公理是不需要证明的，他是判断其他命题真假的依据，而定理必须经过证明；
（2） 定理一定是真命题，但真命题不一定是定理，只有那些经过推理证明是正确的，具有很大实用价值的真命题才叫做定理.
【例5】“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）A. 定理 B. 公理 C. 定义 D. 命题
知识点七 真命题的证明
1. 根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
2. 经过证明的真命题称为定理，它只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
3. 证明一个命题为假命题，只需举出一个说明这个命题是假命题的反例即可，而证明一个命题为真命题，需要利用公理、定理、 定义和已经证明为真的命题作为依据进行证明.
【例6】 如图所示，在直线AC上取一点O，作射线OB，OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，求证：OE⊥OF.
第3节 平行线的判定
知识点八 平行线的判定
小技巧：（1）在利用同位角、内错角、同旁内角的关系来判断平行时，可采用“先画出两角，再把公共的一边去掉，剩 余两边则平行”的方法；（2）要证明平行，找角（同位角、内错角、同旁内角）；（3）常见的隐含条件：对顶角相 等，两角互补和为180°。
【例7】如图所示，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（ ）
A. ∠1=∠2 B.∠4=∠B C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠B=180°
（例7）
【例8】如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．
（例8）
【习题精练】
1. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是（ ）
A．∠A=30°，∠B=50° B．∠A=30°，∠B=70° C．∠A=30°，∠B=90° D．∠A=30°，∠B=110°
2. 下列语句术语属于定义的是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 两条直线平行，同位角相等 C. 等角的补角相等 D. 线段是直线上的两点和两点间的部分
3. 下列语句中不是命题的是（ ）
A. 相等的角不是对顶角 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两点之间线段最短 D. 过点O作线段MN的垂线
4. 直线a、b、c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是（ ）A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 平面内两个角相等，则它们的两边分别平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
6. 如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠3 C. ∠4=∠5 D. ∠2+∠4=180°
（6题）
7.如图，能确定l1∥l2的α为（ ）A. 140° B. 150° C. 130° D. 120°
（7题）
8. 已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题： . 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
9. 如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．
（9题）
10.如图，∠1=50°，要使a∥b，则∠2= ．
（10题）
11.如图，∠B=∠C，B，A，D三点在同一直线上，∠DAC=∠B+∠C，AE是∠DAC的平分线，求证：AE∥BC.
（11题）
【提高训练】
12. 下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个 角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻 补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（ C ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
13. “有一个两位数，个位数字是a，十位数是b，那么将个位数与十位数交换位置后所得的两位数与原两位数的和是11的倍数”，这 个结论成立吗？想一想为什么？
14. 如图所示， 已知DE，BF分别平分∠ADC和∠ABC，并且∠ADC=∠ABC， ∠1=∠2， 求证AB∥CD.
（14题）
15. 如图所示，已知∠B+∠C+∠D=360°.求证:AB∥ED.
（15题）
【培优训练】
16. 已知：如图，点D在BC边上，DE、AB交于点F，AC∥DE，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：AE∥BC．
（16题）
八（上）第七章 平行线的证明 周末教案（第十五周 课时30）
【知识梳理】
第4节 平行线的性质
知识点一 平行线的性质
小技巧：平行线在解题中的作用，是将角度转移，得到角的关系（如同位角、内错角、同旁内角）。
5. 证明的一般步骤：
解答证明题一般有以下三个步骤：
注意：通常文字证明题要有以上三个步骤，而在我们所接触到的证明题中，有相当一部分不是文字证明题——题目已经明确用字母、 符号把命题表示出来，甚至也画出了示意图.对于不是文字证明的题，我们只需要从第三步开始写即可，以“证明”二字开头。.
【例1】 如图，直线a∥b，直线a，b被直线c所截，∠1=37°，则∠2= ．
（例1）
【例2】如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1=∠2，∠B=∠C.说明∠A=∠D.
（例2）
【例3】如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，那么△AEF是等腰三角形吗？
（例3）
【例4】如图，已知∠ABC=180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠1=36°，求∠2的度数．
（例4）
第5节 三角形内角和定理
知识点二 三角形内角和定理
1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.由三角形内角和定理可知，直角三角形两个锐角互余.
注意：在证明角度之间的关系或求某些角度时，常常找出这些角所在的三角形，利用内角和定理来解.如果找不到所在的三角形， 可能通过作辅助线构造三角形（注：辅助线通常画成虚线）.一般情况下，在图形中常见的辅助线有：平行线、垂线等.
2. 证明三角形内角和定理的基本思路：如图，通过作平行线，设法将三个内角转移后，可合并成（1）平角；（2）邻补角；（3）两 平行直线下的同旁内角.
【例5】如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3为（ ）A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
（例5）
知识点三 三角形内角和定理的应用
1. 三角形内角和定理建立角之间的等量关系，是求角的度数的重要方法，注意与角平分线等知识的综合应用
【例6】如图，△ABC中，∠A=65°，点D在边AC上，连接BD，作∠DCE=∠ABD=30°，求∠BEC的度数.
（例6）
知识点四 三角形内角和定理推理一
1.三角形的外角：三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为三角形的外角.外角实质是三角形一个内角的邻
补角.
外角特征：（1）顶点是三角形的顶点；（2）一条边是三角形内角的一边；（3）另一条边是该内角另一条边的反向延长线.
2. 由一个公理或一个定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论，推论可以当做定理使用.
推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【例7】如图，∠C=30°，∠E=28°，∠BDF=130°，求∠A与∠EFD的度数.
（例7）
知识点五 三角形内角和定理推理二
推理2：三角形的一个外角 大于 （填“大于”“小于”或“等于”）任何一个和它不相邻的内角.
1. 运用平行线判定和性质进行推理是几何证明的基础，在中考中主要体现在如下两方面：（1）由角定角，即由已知角的关系 两直线平行确定其它角的关系；（2）由线定线，即由已知两条直线平行角的关系 确定其它的直线平行.
【习题精练】
1. 如图所示，若AB∥EF∥DC，EG∥BD，BD交EF于点H，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（ ）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 2个
（1题）
2. 如图所示，AB∥CD， ∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是（ ）A. 60° B. 70° C. 80° D. 65°
（2题）
3. 将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
（3题）
4. 如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，当∠A=120°时，∠ECD的度数是（ ）
A. 45° B. 40° C. 35° D. 30°
（4题）
5. 如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（ ）A. 70° B. 100° C. 140° D. 170°
（5题）
6. 若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
7. 如图所示，AE∥BD， ∠1=120°，∠2=40°，则∠C的度数是（ ）A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
（7题）
8. 如图所示，已知AD与BC相交于点O，AB∥CD，若∠B=40°，∠D=30°，则∠AOC的大小为（ ）
A. 60° B. 70° C. 80° D. 120°
（8题）
9. AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为（ ）
A. 20° B. 18° C. 38° D. 40°
（9题）
10. 如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=∠154°，则∠BCE等于 。
（10题 ）
11. 如图，△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一直线上，FD∥EC，∠D=42°，求证：∠B=50°．
（11题）
【提高训练】
12. 如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）
A. 110° B. 115° C. 120° D. 130°
（12题）
13. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则 ∠ADB′等于（ ）A. 40° B. 35° C. 30° D. 25°
（13题）
14. 如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C=（ ）A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
（14题）
15. 已知在△ABC中，∠A=40°，高BE、CF相交于点O，求∠BOC的度数．
（15题）
【培优训练】
16. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）
A.∠A=∠1+∠2 B. ∠A=∠2﹣∠1 C. 2∠A=∠1+∠2 D. 3∠A=2（∠1+∠2）
（16题）
17. 已知:如图所示，ABCDE为五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
（17题）
18. 如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，且∠D=30°，求∠A．
（18题）
八（上）第七章 平行线的证明 强化教案（第十五周 强化训练15）
1. 如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，则∠B等于（ ）
A．18° B．36° C．45° D．54°
（1题）
2. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（ ）
A．70° B．60° C．55° D．50°
（2题）
3. 如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=50°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
（3题）
4. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时 针旋转（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°
（4题）
5．如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使四边形ABFE与四边形HGFE重合，若∠1=50°，则∠AEF的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
（5题）
6．根据如图与已知条件，指出下列推断错误的是（ ）
A．由∠1=∠2，得AB∥CD B．由∠1+∠3=∠2+∠4，得AE∥CN
C．由∠5=∠6，∠3=∠4，得AB∥CD D．由∠SAB=∠SCD，得AB∥CD
（6题）
7．如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（ ）
A．17° B．62° C．63° D．73°
（7题）
8. 如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
（8题）
9. 如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
（9题）
10. 如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（ ）
A.65° B．55° C．50° D．25°
（10题）
怎么想：（1）由平行，将角度转移，得∠DEF=65°；（2）由折叠前后的图形全等，得EF为角平分线；（3）由邻补角可得。
11．如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC= 度．
（11题）
12. 如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3= °．
（12题）
13. 如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠FEC=∠GDB，试说明：∠AGD=∠ABC．
（13题）
【提高训练】
14. 如图，已知∠1+∠2=180°，∠AED=∠C，说明∠B=∠DEF.
（14题）
15. 如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H， CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于 .
（15题）
16．如图，已知CD⊥AB，垂足为D，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：CD∥EF；（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．
（16题）
【培优训练】
17. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE，那么∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
（17题）
21．如图（1），AB∥CD，①猜想∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
②观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
③观察图（3）和图（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不必说明理由．
（18题）
八（上）第七章 平行线的证明 周末教案（第十五周 课时29）
【知识梳理】
第1节 为什么要证明
知识点一 判断一个数学结论的方法
1. 判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或试验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.
知识点二 为什么要证明
1. 通过观察、实验、猜想或归纳得到的结论中，很多结论都是正确的，但也有某些结论是不正确的，因此，对于通过观察、实现、 猜想或归纳得到的结论，必须通过有理有据的推理，才能说明这个结论正确与否.
2. 检验数学结论常用的方法： 实验 法、 举反例 法、 推理 法等.注意：举反例仅能否定一个结论.
【例1】下列结论正确的是（ ）. A. 若a>b，则a2>b2 B. 若a>b，则a2
知识点三 定义与命题
1. 定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是这个名称和术语的定义.
2. 命题的含义： 判断一件事情 的句子，叫做命题.判断一个语句是否是命题，关键是看这个语句是否对某件事情做出了判 断.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
【例2】下列语句中是命题的有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
①两条直线相交，只有一个交点；②π不是有理数；③如果a=b，那么b=a=4；④对顶角相等；⑤明天会下雨吗？⑥延长线段AB
知识点四 命题的组成
1. 命题的结构特征：一般地，每个命题都由 条件 和 结论 两部分组成， 条件 是已知的事项， 结论 是由已知事项推 断出的事项.命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是 条件，“那么”引出的部分是结论 .
【例3】把下列命题改写成“如果…那么…”的形式.
相等的角是对顶角.答： .
等角的补角相等. 答： .
一个锐角的补角大于这个锐角的余角. 答： .
知识点五 命题的真假
1. 命题的分类：（1）真命题：正确的命题；（2）假命题：不正确的命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具 备命题的 条件 ，而不具备命题的 结论 ，这种例子称为 反例 .
【例4】“如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B相等”是（ ）
A. 真命题 B. 假命题 C. 定义 D. 以上选项都不对
知识点六 公理与定理
1. 公理是公认的真命题（一般不用证明，也证明不了，如“两点之间，线段最短”）.除了公理外，其他命题的真假都需要通过演 绎推理的方法进行判断.
（1） 公理是不需要证明的，他是判断其他命题真假的依据，而定理必须经过证明；
（2） 定理一定是真命题，但真命题不一定是定理，只有那些经过推理证明是正确的，具有很大实用价值的真命题才叫做定理.
【例5】“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）A. 定理 B. 公理 C. 定义 D. 命题
知识点七 真命题的证明
1. 根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
2. 经过证明的真命题称为定理，它只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
3. 证明一个命题为假命题，只需举出一个说明这个命题是假命题的反例即可，而证明一个命题为真命题，需要利用公理、定理、 定义和已经证明为真的命题作为依据进行证明.
【例6】 如图所示，在直线AC上取一点O，作射线OB，OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，求证：OE⊥OF.
第3节 平行线的判定
知识点八 平行线的判定
小技巧：（1）在利用同位角、内错角、同旁内角的关系来判断平行时，可采用“先画出两角，再把公共的一边去掉，剩 余两边则平行”的方法；（2）要证明平行，找角（同位角、内错角、同旁内角）；（3）常见的隐含条件：对顶角相 等，两角互补和为180°。
【例7】如图所示，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（ ）
A. ∠1=∠2 B.∠4=∠B C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠B=180°
（例7）
【例8】如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．
（例8）
【习题精练】
1. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是（ ）
A．∠A=30°，∠B=50° B．∠A=30°，∠B=70° C．∠A=30°，∠B=90° D．∠A=30°，∠B=110°
2. 下列语句术语属于定义的是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 两条直线平行，同位角相等 C. 等角的补角相等 D. 线段是直线上的两点和两点间的部分
3. 下列语句中不是命题的是（ ）
A. 相等的角不是对顶角 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两点之间线段最短 D. 过点O作线段MN的垂线
4. 直线a、b、c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是（ ）A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 平面内两个角相等，则它们的两边分别平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
6. 如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠3 C. ∠4=∠5 D. ∠2+∠4=180°
（6题）
7.如图，能确定l1∥l2的α为（ ）A. 140° B. 150° C. 130° D. 120°
（7题）
8. 已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题： . 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
9. 如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．
（9题）
10.如图，∠1=50°，要使a∥b，则∠2= ．
（10题）
11.如图，∠B=∠C，B，A，D三点在同一直线上，∠DAC=∠B+∠C，AE是∠DAC的平分线，求证：AE∥BC.
（11题）
【提高训练】
12. 下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个 角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻 补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（ C ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
13. “有一个两位数，个位数字是a，十位数是b，那么将个位数与十位数交换位置后所得的两位数与原两位数的和是11的倍数”，这 个结论成立吗？想一想为什么？
14. 如图所示， 已知DE，BF分别平分∠ADC和∠ABC，并且∠ADC=∠ABC， ∠1=∠2， 求证AB∥CD.
（14题）
15. 如图所示，已知∠B+∠C+∠D=360°.求证:AB∥ED.
（15题）
【培优训练】
16. 已知：如图，点D在BC边上，DE、AB交于点F，AC∥DE，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：AE∥BC．
（16题）
八（上）第七章 平行线的证明 周末教案（第十五周 课时30）
【知识梳理】
第4节 平行线的性质
知识点一 平行线的性质
小技巧：平行线在解题中的作用，是将角度转移，得到角的关系（如同位角、内错角、同旁内角）。
5. 证明的一般步骤：
解答证明题一般有以下三个步骤：
注意：通常文字证明题要有以上三个步骤，而在我们所接触到的证明题中，有相当一部分不是文字证明题——题目已经明确用字母、 符号把命题表示出来，甚至也画出了示意图.对于不是文字证明的题，我们只需要从第三步开始写即可，以“证明”二字开头。.
【例1】 如图，直线a∥b，直线a，b被直线c所截，∠1=37°，则∠2= ．
（例1）
【例2】如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1=∠2，∠B=∠C.说明∠A=∠D.
（例2）
【例3】如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，那么△AEF是等腰三角形吗？
（例3）
【例4】如图，已知∠ABC=180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠1=36°，求∠2的度数．
（例4）
第5节 三角形内角和定理
知识点二 三角形内角和定理
1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.由三角形内角和定理可知，直角三角形两个锐角互余.
注意：在证明角度之间的关系或求某些角度时，常常找出这些角所在的三角形，利用内角和定理来解.如果找不到所在的三角形， 可能通过作辅助线构造三角形（注：辅助线通常画成虚线）.一般情况下，在图形中常见的辅助线有：平行线、垂线等.
2. 证明三角形内角和定理的基本思路：如图，通过作平行线，设法将三个内角转移后，可合并成（1）平角；（2）邻补角；（3）两 平行直线下的同旁内角.
【例5】如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3为（ ）A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
（例5）
知识点三 三角形内角和定理的应用
1. 三角形内角和定理建立角之间的等量关系，是求角的度数的重要方法，注意与角平分线等知识的综合应用
【例6】如图，△ABC中，∠A=65°，点D在边AC上，连接BD，作∠DCE=∠ABD=30°，求∠BEC的度数.
（例6）
知识点四 三角形内角和定理推理一
1.三角形的外角：三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为三角形的外角.外角实质是三角形一个内角的邻
补角.
外角特征：（1）顶点是三角形的顶点；（2）一条边是三角形内角的一边；（3）另一条边是该内角另一条边的反向延长线.
2. 由一个公理或一个定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论，推论可以当做定理使用.
推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【例7】如图，∠C=30°，∠E=28°，∠BDF=130°，求∠A与∠EFD的度数.
（例7）
知识点五 三角形内角和定理推理二
推理2：三角形的一个外角 大于 （填“大于”“小于”或“等于”）任何一个和它不相邻的内角.
1. 运用平行线判定和性质进行推理是几何证明的基础，在中考中主要体现在如下两方面：（1）由角定角，即由已知角的关系 两直线平行确定其它角的关系；（2）由线定线，即由已知两条直线平行角的关系 确定其它的直线平行.
【习题精练】
1. 如图所示，若AB∥EF∥DC，EG∥BD，BD交EF于点H，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（ ）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 2个
（1题）
2. 如图所示，AB∥CD， ∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是（ ）A. 60° B. 70° C. 80° D. 65°
（2题）
3. 将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
（3题）
4. 如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，当∠A=120°时，∠ECD的度数是（ ）
A. 45° B. 40° C. 35° D. 30°
（4题）
5. 如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（ ）A. 70° B. 100° C. 140° D. 170°
（5题）
6. 若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
7. 如图所示，AE∥BD， ∠1=120°，∠2=40°，则∠C的度数是（ ）A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
（7题）
8. 如图所示，已知AD与BC相交于点O，AB∥CD，若∠B=40°，∠D=30°，则∠AOC的大小为（ ）
A. 60° B. 70° C. 80° D. 120°
（8题）
9. AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为（ ）
A. 20° B. 18° C. 38° D. 40°
（9题）
10. 如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=∠154°，则∠BCE等于 。
（10题 ）
11. 如图，△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一直线上，FD∥EC，∠D=42°，求证：∠B=50°．
（11题）
【提高训练】
12. 如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）
A. 110° B. 115° C. 120° D. 130°
（12题）
13. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则 ∠ADB′等于（ ）A. 40° B. 35° C. 30° D. 25°
（13题）
14. 如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C=（ ）A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
（14题）
15. 已知在△ABC中，∠A=40°，高BE、CF相交于点O，求∠BOC的度数．
（15题）
【培优训练】
16. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）
A.∠A=∠1+∠2 B. ∠A=∠2﹣∠1 C. 2∠A=∠1+∠2 D. 3∠A=2（∠1+∠2）
（16题）
17. 已知:如图所示，ABCDE为五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
（17题）
18. 如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，且∠D=30°，求∠A．
（18题）
八（上）第七章 平行线的证明 强化教案（第十五周 强化训练15）
1. 如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，则∠B等于（ ）
A．18° B．36° C．45° D．54°
（1题）
2. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（ ）
A．70° B．60° C．55° D．50°
（2题）
3. 如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=50°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
（3题）
4. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时 针旋转（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°
（4题）
5．如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使四边形ABFE与四边形HGFE重合，若∠1=50°，则∠AEF的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
（5题）
6．根据如图与已知条件，指出下列推断错误的是（ ）
A．由∠1=∠2，得AB∥CD B．由∠1+∠3=∠2+∠4，得AE∥CN
C．由∠5=∠6，∠3=∠4，得AB∥CD D．由∠SAB=∠SCD，得AB∥CD
（6题）
7．如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（ ）
A．17° B．62° C．63° D．73°
（7题）
8. 如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
（8题）
9. 如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
（9题）
10. 如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（ ）
A.65° B．55° C．50° D．25°
（10题）
怎么想：（1）由平行，将角度转移，得∠DEF=65°；（2）由折叠前后的图形全等，得EF为角平分线；（3）由邻补角可得。
11．如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC= 度．
（11题）
12. 如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3= °．
（12题）
13. 如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠FEC=∠GDB，试说明：∠AGD=∠ABC．
（13题）
【提高训练】
14. 如图，已知∠1+∠2=180°，∠AED=∠C，说明∠B=∠DEF.
（14题）
15. 如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H， CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于 .
（15题）
16．如图，已知CD⊥AB，垂足为D，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：CD∥EF；（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．
（16题）
【培优训练】
17. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE，那么∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
（17题）
21．如图（1），AB∥CD，①猜想∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
②观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
③观察图（3）和图（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不必说明理由．
（18题）
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