2022年四川省成都七中育才学校中考数学二诊试卷（Word解析版）

2022年四川省成都七中育才学校中考数学二诊试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图是一个“凹”字形几何体，这个几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 据悉新冠病毒其直径约为毫米，这个数用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，四边形是菱形，，分别是，两边上的点，不能保证和一定全等的条件是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 数据，，，的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共40分）

9. 分解因式：______．
10. 二次函数的图象与轴有两个交点，则实数的取值范围是______．
11. 如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为、，若、，则______．

12. 如图所示的网格由边长为的小正方形组成，点、、在小正方形的顶点上，为的中点，则长为______．

13. 如图，已知中，，小明用直尺和圆规按下列步骤完成作图：
    在和上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；
    以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点；
    若，，则______．
14. 一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围为______．
15. 已知，是方程的两个实数根，则的值是______．
16. 如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊羊只能在草地上活动，那么小羊在草地上的最大活动区域面积是______平方米．

17. 如图，有、、三类长方形或正方形卡片，其中甲同学持有、类卡片各一张，乙同学持有、类卡片各一张，丙同学持有、类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是______．

18. 如图，在锐角三角形中，为三角形内部一点，，，，，则的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算：；
    解方程：．
20. 为了解“幸福里小区”居民接种“新冠疫苗”的情况，社区工作人员对该小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：类接种了只需要注射一针的疫苗；类接种了要注射两针，且两针之间要间隔一定时间的疫苗；类接种了要注射三针，且每两针之间要间隔一定时间的疫苗；类还没有接种．根据调查结果给制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
    
    此次抽样调查的人数是______；______；
    补全条形统计图；
    为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集名志愿宣传者，现有男女共名居民报名，要从这人中随机挑选人，求恰好抽到男和女的概率．
21. 如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离即的长度，昌昌站在点处，让同伴移动平面镜至点处，此时小华在平面镜内可以看到点且测得米，米．已知小华的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求的长度．参考数据：，

22. 如图，是的直径，弦，的平分线交于点，，过点作，交的延长线于点，连接，．
    求证：是的切线；
    为了求出的半径长度，李鑫同学尝试过点分别作，的垂线，垂足分别为，如图，请帮助李鑫同学继续完成求的半径长的剩余过程；
    求的面积．
     

23. 直线与双曲线交于，两点，是第一象限内的双曲线上点右侧任意一点；
    如图，求，两点坐标；
    如图，连接，若，求点的坐标；
    如图，设直线，分别与轴相交于，两点，且，，求的值．
     

24. 某水果商从批发市场用元购进了枇杷和水蜜桃各千克，枇杷的进价比水蜜桃的进价每千克多元．枇杷的售价为每千克元，水蜜桃的售价为每千克元．利润售价进价
    枇杷和水蜜桃的进价分别是每千克多少元？
    该水果商第二次仍用元从批发市场购进了枇杷和水蜜桃各千克，进价不变，但在运输过程中枇杷损耗了若枇杷的售价不变，且想要第二次所获利润等于第一次所获利润的，水蜜桃的售价应调整为每千克多少元？
25. 如图，抛物线：的图象与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，其顶点为．
    如图，，，，四点的坐标依次为______，______，______，______；
    顺次连接，，三点得，点为抛物线上一点点不与点重合，若的面积等于的面积，求点的横坐标；
    如图，过点作轴交抛物线于另一点，其对称轴与交于点，将抛物线向右平移个单位得抛物线，过点作轴的垂线交抛物线于点，点与点平移后的对应点分别为点，，记点与，与之间的距离分别为，，若，请直接写出符合要求的的值．
     

26. 取一张矩形纸片，为边上一动点，将沿直线折叠得．
    如图，连接，，，当时，试判断的形状；
    如图，连接，当，的最大值与最小值的和为时，求线段的值；
    如图，当点落在边上，分别延长，交于点，将绕点逆时针旋转得，分别连接，，取中点连接，试探究线段与的数量关系．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：有理数的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个几何体的俯视图为：

故选：．
根据简单几何体的三视图的画法，画出它的俯视图即可．

本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义是得出正确答案的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形变化对称，根据轴对称性求出对称点到直线的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．先求出点到直线的距离，再根据对称性求出对称点到直线的距离，从而得到点的横坐标，即可得解．
【解答】
解：设点关于直线的对称点为，
点，
点到直线的距离为，
点关于直线的对称点到直线的距离为，
点的横坐标为，
对称点的坐标为．
故选C．
  

5.【答案】 

【解析】解：和的指数不同，
不是同类项，不能相加，
故选项A错误；
等式左边等式右边，
故选项B正确；
等式左边等式右边，
故选项C错误；
等式左边等式右边，
故选项D错误；
故选：．
利用平方差公式和完全平方公式，直接计算即可，要注意同类项指带有相同系数的代数项包括字母和字母指数．
本题考查合并同类项，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟记同类项的辨别条件，计算是要注意符号和指数．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
A、在和中，
，
≌，故选项A不符合题意；
B、在和中，
，
≌，故选项B不符合题意；
C、，
，
在和中，
，
≌，故选项C不符合题意；
D、由，，，不能判定和一定全等，故选项D符合题意；
故选：．
由菱形的性质和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这一组数据的平均数为，
故这一组数据的方差为，
故选：．
先根据算术平均数的定义求出平均数，再根据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数与方差的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的解集为，
，
解得，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据二次函数的定义和判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
、，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理即可求出，进而可求出．
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，为的中点，
，
故答案为：．
先运用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．
本题考查了勾股定理、直角三角形的性质，熟练运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由作图可知，平分，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用勾股定理求出，再利用面积法求出．
本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】 

【解析】解：一次函数的函数值随值的增大而减小，

，
故答案为：．
根据一次函数的性质可知：，即可求解．
本题考查了一次函数为常数的性质．它的图象为一条直线，当，图象经过第一，三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，随的增大而减小；当，图象与轴的交点在轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与轴的交点在轴的下方．
 

15.【答案】 

【解析】解：是方程的实数根，
，
，
，
，是方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
先利用一元二次方程根的定义得到，则变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图．小羊的活动范围是：
平方米．
小羊的最大活动区域是一个半径为、圆心角为和一个半径为、圆心角为的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
本题结合实际问题考查了扇形面积的计算方法，解题关键是弄清小羊活动的范围是哪些图形．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题可得，随机选取两位同学，可能的结果如下：
甲乙、甲丙、乙丙，
，
选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为的正方形，
能拼成一个正方形的概率为，
故答案为：．
依据选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为的正方形，可得能拼成一个正方形的概率为．
本题考查列表法与树状图法、完全平方公式的运用，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

18.【答案】 

【解析】解：设，则，
旋转到，延交于点，

则，，，，
，
即，
又，
，
，
，
，，
，
，
作于，
，
，
．
故答案为：．
旋转到，延交于点，作于，先证明是直角三角形，利用勾股定理解得，再证明是的中位线，最后根据三角形面积公式即可解答．
本题考查旋转的性质、勾股定理的应用、三角形中位线的判定和性质，解题关键是恰当作出辅助线，有一定的难度．
 

19.【答案】解：原式

；

，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无解． 

【解析】先根据零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值和负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，负整数指数幂和解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：此次抽样调查的人数是人，
，即，
故答案为：、；
类型人数为人，类型人数为人，
补全图形如下：

画树状图如下：

所有等可能的情况有种，其中一男一女有种，
恰好选到一男一女的概率为．
由类型人数及其所占百分比可得总人数，用类型人数除以总人数即可得出的值；
总人数乘以类型人数所占百分比可得其人数，继而求出类型人数，从而补全图形；
画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
本题考查了统计图、列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

21.【答案】解：过点作交的延长线于，
设米，
，
，
在中，，
则，
由题意得：，
，
∽，
，即，
解得：，
，
米，
答：的长度约为米． 

【解析】过点作交的延长线于，设米，根据正切的定义用表示，证明∽，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，

是直径，
，
平分，
，
，
，
，
，即，
为半径，
是的切线；
解：如图，

，，，
四边形是矩形，
平分，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
的半径长为；
解：如图，连接，过点作于点，

，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
设，，则，，
，
，
，
，
联立得：，
解得：或不符合题意，舍去，
的面积． 

【解析】连接，由圆周角定理得出，由角平分线的定义得出，由圆周角定理及平行线的性质得出，即可证明是的切线；
先证明四边形是正方形，由，求出，，再证明≌，得出，进而求出，利用勾股定理求出，即可求出的半径长为；
连接，过点作于点，先证明四边形是正方形，得出，设，，则，，利用等积法和勾股定理得出，解方程得出，即可求出的面积．
本题考查了圆的综合运用，掌握圆周角定理，平行线的性质，切线的判定方法，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等积法，三角形的面积公式等知识是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：当时，
解得，
，；
过点作，交直线于，过作轴的平行线，作于，于，

，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
直线的解析式为，
，
解得，舍去，
当时，，
；
作轴于，于，，交的延长线于，

设，
，
，
同理得，，
． 

【解析】当时，解方程可得点、的横坐标，从而得出答案；
过点作，交直线于，过作轴的平行线，作于，于，利用证明≌，得，，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，从而求出交点的坐标；
作轴于，于，，交的延长线于，设，利用平行线分线段成比例定理得，同理得，，即可得出答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，利用平行线分线段成比例表示出和是解题的关键．
 

24.【答案】解：设枇杷的进价为元千克，蜜桃的进价为元千克，
依题意得：，
解得：．
答：枇杷的进价为元千克，蜜桃的进价为元千克．
设水蜜桃的售价应调整为元千克，
依题意得：，
解得：．
答：水蜜桃的售价应调整为元千克． 

【解析】设枇杷的进价为元千克，蜜桃的进价为元千克，根据“某水果商从批发市场用元购进了枇杷和水蜜桃各千克，枇杷的进价比水蜜桃的进价每千克多元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设水蜜桃的售价应调整为元千克，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合想要第二次所获利润等于第一次所获利润的，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

25.【答案】       

【解析】解：抛物线中，
当时，；当时，或；
，，；
，
；
故A，，，
故答案为：，，，；

，，，
，
，
，
，
是直角三角形，，
设直线的解析式为，
将代入得，，
，
直线的解析式为，

分两种情况：
点在上方时，过点作交抛物线于点，
的面积等于的面积，
直线的解析式为，，
设直线的解析式为，
将代入得，，
，
直线的解析式为，
联立抛物线：得，
解得，，
点的横坐标为；
点在下方时，过点作，使，过作交抛物线于点，作轴于，
的面积等于的面积，
，

，
，
，
，
轴，
，
，
的坐标为，
设的解析式为，
将代入得，，
，
直线的解析式为，
联立抛物线：得，
解得，，
点的横坐标为或；
综上，点的横坐标为或或；

如图，

点，轴，抛物线：，
当时，，
解得，，
点，抛物线的对称轴为，
直线的解析式为，
当时，，
点，
将抛物线向右平移个单位得抛物线，
抛物线：，
，，
，，
点与，与之间的距离分别为，，，
，化简得，
或，
解得，不合题意，舍去或，不合题意，舍去，
符合要求的的值为或．
抛物线的解析式中，令，可求得点的坐标，令，可求得、的坐标；利用配方法将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可求得顶点的坐标；
根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，分两种情况：点在上方时，过点作交抛物线于点，根据平行线间的距离相等得的面积等于的面积，求出直线的解析式，联立抛物线：即可求解；点在下方时，过点作，使，过作交抛物线于点，作轴于，求出的坐标，可得的解析式，联立抛物线：即可求解；
求出点，抛物线的对称轴为，由直线的解析式为，得点，根据平移得抛物线：，则，，可得，，根据，得，解方程即可得出答案．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平移的性质等知识点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式和二次函数平移的性质，解题时，注意“分类讨论”和“数形结合”数学思想的应用，难度较大．
 

26.【答案】解：结论：是等边三角形．
理由：如图中，

由翻折变换的性质可知，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等边三角形；

如图中，连接，

由题意，的最大值为线段的长，设，则最小值为，
当，，共线时，的值最小，
，
，
，
，
，
；

结论：．
理由：如图中，延长到，使得，连接，，．

，，，
≌，
，，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
，
又，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
． 

【解析】结论：是等边三角形．证明≌，推出，可得结论；
由题意，的最大值为线段的长，设，则最小值为，当，，共线时，的值最小，推出，利用勾股定理构建方程，可得结论；
结论：如图中，延长到，使得，连接，，证明是等腰直角三角形，可得结论．
．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．