24.1圆的有关性质 人教版初中数学九年级上册同步练习（含答案解析）

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24.1圆的有关性质人教版初中数学九年级上册同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，点，，在上，，，垂足分别为，，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是(    )A.
B.
C. ≌
D. 如图，与轴交于点，，圆心的横坐标为，则的半径为(    )A.
B.
C.
D.
 如图，为的直径，弦于点，于点，，则为(    )A.
B.
C.
D. 如图，已知四边形是的内接四边形，，，，，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是(    )A.
B.
C.
D.
 如图，为的直径，点为上一点，且，则弦与弦的关系是(    )A.
B.
C.
D. 如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为厘米，厘米若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为分钟，则“图上”太阳升起的速度为(    )
 A. 厘米分 B. 厘米分 C. 厘米分 D. 厘米分如图，内接于，若，则等于(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，的内接四边形中，，则(    )A.
B.
C.
D.
  第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）如图，在中，半径垂直于弦，垂足为，，，则           ．
如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为______．
 如图，一圆弧过方格的格点、、，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．
 如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则______
  三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）如图，的弦、的延长线相交于点，且求证：．
如图，在中，，为弦，为直径，于，于，与相交于．

求证：
若，，求的半径．如图，在四边形中，，，，，以为直径的圆交于点．
求的半径；
用无刻度的直尺在边上作点，使射线平分，并求的值．
如图，的直径，弦长，的平分线交于点．
求的长；
求的面积．
已知：如图，直线，和直线外一点．
求作：过点作直线，使得，
作法：在直线上取点，以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；
连接，以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点；
作直线．
直线即为所求作．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明：
证明：连接．
，
______ ．
______ 填推理依据．
直线直线．
已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连接．


 求证：；求证：点是线段的中点；连接，若，，求的半径和的长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：连接，如图，

平分，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，，从而得到，所以，然后利用勾股定理计算的长．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角就是和它相邻的内角的对角也考查了勾股定理，圆周角定理．
 2.【答案】 【解析】解：如图，在优弧上取一点，连接，，

，，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
故选：．
先根据四边形的内角和为求，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得的度数，最后由四点共圆的性质得结论．
本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：是的直径，平分，
，，
，
，
，
，
，选项A成立；
，选项B成立；
，选项D成立；
和中，没有相等的边，
与不全等，选项C不成立；
故选：．
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
由圆周角定理和角平分线得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，选项A成立；
由平行线的性质得出，选项B成立；
由垂径定理得出，选项D成立；
和中，没有相等的边，与不全等，选项C不成立，即可得出答案．
 4.【答案】 【解析】【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
过点作，连接，由垂径定理得，在中，由勾股定理可求得为即可．【解答】解：过点作于，连接，如图所示：
与轴交于，两点，
，，
，
，
，
，
点的横坐标为，即，
，
即的半径为．
   5.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
弦，为的直径，
，
．
故选：．
先根据三角形的内角和定理可得，由垂径定理得：，最后由圆周角定理可得结论．
本题考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
 6.【答案】 【解析】解：延长、，它们相交于点，如图，

四边形是的内接四边形，
，，
，，
，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
．
故选：．
延长、，它们相交于点，如图，先利用圆内接四边形的性质得到，，再利用含度的直角三角形三边的关系，在中求出，，则，接着在中求出，然后计算即可．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
 7.【答案】 【解析】解：于点．
．
，．
．
．
，．
∽．
，即：．
．
．
．
故选：．
根据垂径定理求出可得的长度，利用∽，求出，即可求解．
本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．
 8.【答案】 【解析】解：如图，过点作，交于，连接，，

是的直径，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
设，则，
，
．
故选：．
如图，过点作，交于，连接，，证明是等腰直角三角形，且，设，则，计算和的比可得结论．
本题考查了圆心角和弧的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，常通过作辅助线构建等腰直角三角形是解本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：连接，如图所示，
，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
故选：．
根据圆周角定理可以得到的度数，再根据三角形内角和可以求得的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到的度数．
本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 10.【答案】 【解析】解：设“图上”圆的圆心为，连接，过点作于，如图所示：
厘米，
厘米，
厘米，
厘米，
海平线以下部分的高度厘米，
太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为分钟，
“图上”太阳升起的速度厘米分，
故选：．
连接，过点作于，由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，然后求出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．
本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：连接，

内接于，，
，
，
．
故选：．
首先连接，由圆周角定理，可求得的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 12.【答案】 【解析】解：的内接四边形，，
，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理得出答案．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是正确解答的前提．
 13.【答案】 【解析】【分析】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形是解题关键，又利用了勾股定理．
根据垂径定理，可得的长，根据勾股定理，可得的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：连接，，由垂径定理，．


由半径相等，得．
由勾股定理，得．
由线段的和差，得．  14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
连接、，交于，如图，利用垂径定理得到，设的半径为，则，，根据勾股定理得到，解得，再利用垂径定理得到，，则，，然后解方程组求出，从而得到的长．
【解答】
解：连接、，交于，如图，

，
，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
，
，，
在中，，
在中，，
解由组成的方程组得到，
．
故答案为．  15.【答案】 【解析】解：如图：分别作与的垂直平分线，相交于点，
则点即是该圆弧所在圆的圆心．
点的坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
根据垂径定理可得：分别作与的垂直平分线，相交于点，则点即是该圆弧所在圆的圆心．然后由点的坐标为，即可得到点的坐标．
此题考查了垂径定理的应用以及点与坐标的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 16.【答案】 【解析】解：如图，连接．

是直径，
，
，
，
故答案为：．
如图，连接，证明，求出，可得结论．
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
 17.【答案】证明：连接．

，
．，
即．
A.
． 【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握圆周角的性质定理是解题的关键．
连接，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等角对等边证得结论．
 18.【答案】解：连接，

则，
，，
，，
，
．
在与中，
，

连接，设，则，，
，
又，
在中，由勾股定理得，，
解得，舍去，
的半径为． 【解析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，根据题意作出辅助线，利用三角形全等和勾股定理是解答此题的关键．
连接，先根据圆周角定理得出，再由直角三角形的性质得出，故可得出，由全等三角形的判定定理得出≌，故可得出结论；
连接，设设，则，，根据垂径定理求出，在中根据勾股定理可得出的值即可．
 19.【答案】解：连接．
是直径，
，
，
四边形是矩形，
，，
设，在中，，
，
，
的半径为．

连接，交于点，作射线交于点设交于点．
，
，
，，
≌，
，
，
∽，
． 【解析】连接，设，利用勾股定理求解即可；
连接，交于点，作射线交于点设交于点证明，利用相似三角形的性质求解即可
本题考查作图复杂作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 20.【答案】解：是直径

在中，，，

；

平分，
，
，
又在中，

．
的面积． 【解析】先根据直径所对的角是，判断出和是直角三角形，根据圆周角的平分线交于，判断出为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．
求得和的长后利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是圆周角定理及勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意得出等腰直角三角形是解答此题的关键．
 21.【答案】解：如图，直线即为所求作．

证明：连接．
，
，
同弧或等弧所对的圆周角相等，
直线直线．
故答案为：，同弧或等弧所对的圆周角相等． 【解析】根据要求画出图形即可．
连接，只要证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 22.【答案】证明：平分，
．
与均为所对的圆周角，
．
；
证明：为直径，
．
于点，
．
．
．
．
，
．
．
，
即点是线段的中点；
解：

，，
．
，
由勾股定理得：，即的半径为．
由，
即：，
．
即的长为． 【解析】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理以及三角形面积等知识，熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键．
利用角平分线的定义得出，进而得出；
利用圆周角定理得出，进而求出，则，求出，即可得出答案；
利用勾股定理得出的长，再利用三角形面积求出即可．