专题3 均值不等式及其应用（针对训练）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

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第3练 均值不等式及其应用 学校____________          姓名____________          班级____________ 一、单选题1．已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ）A． B．4 C． D．【答案】D【详解】设，则，故，其中，，由，当且仅当，时等号成立，此时，满足，故的最小值为，故选：D.2．函数的最小值为（       ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【详解】因为，所以，，利用基本不等式可得，当且仅当即时等号成立.故选：D.3．已知，，，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.4．函数的最小值为（       ）A．7 B．7 C．6 D．2【答案】B【详解】，，当且仅当时等号成立.故选：B5．下列命题为真命题的是（        ）A．若，则B．函数中最小值为C．若，则D．若，则【答案】A【详解】由可得，所以，A对，当时，函数的函数值为-10，故B错，当时，，所以，C错，取，则，D错，故选：A.6．下列不等式恒成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；对于B选项，成立的条件为，故错误；对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；对于D选项，由于，故，正确.故选：D7．已知中，点D为线段（不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足，则的最小值为（       ）A． B．6 C． D．【答案】A【详解】因为点D为线段（不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：A8．若，且，则的最小值为（       ）A．9 B．3 C．1 D．【答案】C【详解】解：因为，所以，因为所以，即，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最小值为.故选：C二、多选题9．已知 则下列结论正确的是（        ）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】由题可知，，又，所以 ，D错误；因为，有．所以A正确；由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；又因为，，所以，故，B正确；由于，，所以，C正确.故选：ABC．10．已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（       ）A．的最小值是1 B．的最大值是1C．的最小值是 D．的最大值是【答案】BC【详解】因为，所以，所以，可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1，故错误，B正确．因为，故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．故选：BC11．下列函数最小值为2的是（        ）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】对于A，，最小值为2；对于B，，当且仅当，时取得最小值2；对于C，，当且仅当，即时取得最小值2；对于D，，当时取得最小值1，综上可知：ABC正确.故选：ABC.12．设，且，则(       )A． B． C． D．【答案】AC【详解】对于A：，且，，解得，故A正确；对于B：，即，，故B错误；对于C：，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；对于D，且，，当且仅当，即时等号成立，∵－3＝，∴，∴D错误.故选：AC.三、填空题13．若，，且，则的最小值为___________【答案】##【详解】因为，所以，因为，当且仅当时取等号，即时取等号，，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故答案为：14．已知正数a，b满足，则的最小值为___________.【答案】##0.75【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.15．某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为___________（用､表示）【答案】【详解】设第一年的产值为，则第二年的产值为，第三年的产值为，又这两年的平均增长率为，所以，因为为定值，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以的最大值为.故答案为：16．小明用某款手机性能测试app对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为90，若要使该总体的标准差最小，则_________.【答案】0【详解】因为总体的中位数为90，所以，平均数为，要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，又，当且仅当时，即时等号成立，故.故答案为：0四、解答题17．已知，，，求证：(1)；(2).【解析】(1)由题意，因为，且，所以，当且仅当时，取“=”，所以，所以．(2)由，所以，，所以，所以，所以，所以．18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】(1)400；(2)不能获利，至少需要补贴35000元.【解析】(1)由题意可知：，每吨二氧化碳的平均处理成本为：，当且仅当，即时，等号成立，∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；(2)该单位每月的获利：，因，函数在区间上单调递减，从而得当时，函数取得最大值，即，所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.            18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？