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专题6 函数的图像(讲义)-2023年高考一轮复习精讲精练必备
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第6讲 函数的图像
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.利用描点法作函数的图像
步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
2.利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换
(2)对称变换
y=f(x)的图像y=-f(x)的图像;
y=f(x)的图像y=f(-x)的图像;
y=f(x)的图像y=-f(-x)的图像;
y=ax(a>0,且a≠1)的图像y=logax(a>0,且a≠1)的图像.
(3)伸缩变换
y=f(x)y=f(ax).
y=f(x)y=Af(x).
(4)翻折变换
y=f(x)的图像y=|f(x)|的图像;
y=f(x)的图像y=f(|x|)的图像.
二、考点和典型例题
1、函数的图像
【典例1-1】(2021·全国·高三专题练习)函数的单调递增区间是( )
A. B. 和
C.和 D. 和
【答案】B
【详解】
如图所示:
函数的单调递增区间是和.
故选:B.
【典例1-2】(2022·天津·汉沽一中高三阶段练习)已知函数若(互不相等),则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】
作出函数的图象,如图所示:
设,则.
因为,所以,
所以,所以,即.
当时,解得或,所以.
设,
因为函数在上单调递增,所以,即,
所以.
故选:D.
【典例1-3】(2021·全国·高三专题练习)如图,太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美,定义:能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”,则( )
A.函数是圆O:的一个太极函数
B.函数不是圆O:的太极函数
C.函数不是圆O:的太极函数
D.函数不是圆O:的太极函数
【答案】A
【详解】
解:两曲线的对称中心均为点,且两曲线交于两点,所以能把圆一分为二,如图:
故A正确;同理易知B,C不正确;
函数为奇函数,且,,如图:
所以函数是圆O:的一个太极函数,故D不正确,
故选:A.
【典例1-4】(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知函数的图象如下图1,则如下图2对应的函数有可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】
图1:当时,,当时,
当时,于图2不符合,故排除C、D.
∵恒成立,于图2不符合,故排除B.
故选:A.
【典例1-5】(2022·安徽淮南·二模(文))函数的部分图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
记,则,故,是奇函数,故图像关于原点对称.此时可排除A,C ,取 ,排除D.
故选:B
2、图像的平移和变换
【典例2-1】(2022·四川绵阳·三模(理))已知函数,则( )
A.在上单调递增 B.的图象关于点对称
C.为奇函数 D.的图象关于直线对称
【答案】D
【详解】
化简得,
的可以看作是函数先向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到,
先画出的图象,再进行平移画出的图象,
明显可见,对于原函数,为奇函数,关于点对称,且在和上为单调减函数,
所以,经过平移后变成的在上单调递减,关于对称,非奇函数也非偶函数,图象关于直线对称,所以,D正确;A、B、C错误.
故选:D
【典例2-2】(2022·浙江绍兴·模拟预测)在同一直角坐标系中,函数,,且的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
解:因为函数的图象与函数的图象关于轴对称,
所以函数的图象恒过定点,故选项A、B错误;
当时,函数在上单调递增,所以函数在上单调递减,
又在和上单调递减,故选项D错误,选项C正确.
故选:C.
【典例2-3】(2022·全国·高三专题练习)将曲线上所有点的横坐标不变,纵坐标缩小为原来的,得到曲线,则上到直线距离最短的点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
将化为,
则将曲线上所有点的横坐标不变,纵坐标缩小为原来的,
得到曲线,即,
要使曲线上的点到直线的距离最短,
只需曲线上在该点处的切线和直线平行,
设曲线上该点为,
因为,且的斜率为,
所以,解得或(舍),
即该点坐标为.
故选:B.
【典例2-4】(2021·北京四中高三期中)为了得到函数的图像,只需把函数的图像( )
A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【答案】C
【详解】
要得到函数的图象,则只需要把函数的图象向左平移个单位长度,即可.
故选:C.
【典例2-5】(2021·甘肃·静宁县第一中学高三阶段练习(文))已知函数,则下列图象错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】
当时,,表示一条线段,且线段经过和两点.
当时,,表示一段曲线.函数的图象如图所示.
的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到,故A正确;的图象可由的图象关于轴对称后得到,故B正确;由于的值域为,故,故的图象与的图象完全相同,故C正确;很明显D中的图象不正确.
故选:D.
3、图像的综合应用
【典例3-1】(2022·福建宁德·模拟预测)函数的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】
A函数为递减的,错误;C函数的值域大于等于0,错误;D函数为二次函数,错误,只有B符合.
故选:B.
【典例3-2】(2022·天津南开·一模)函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
由题意,函数,
因为,即函数的图象过点,可排除A、B项;
又因为,可排除D项,
故选:C.
【典例3-3】(2022·浙江嘉兴·二模)已知函数的图象如图所示,则的解析式可能是( )(是自然对数的底数)
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】
解:对于A,函数的定义域为,
由,
所以函数为奇函数,不符合题意;
对于B,函数的定义域为,
由,
所以函数为偶函数,符合题意;
对于C,函数,
则,得且,
故函数的定义域为且,
结合函数图像可知,不符题意;
对于D,函数的定义域为且,
结合函数图像可知,不符题意.
故选:B.
【典例3-4】(2022·安徽·安庆一中模拟预测(文))已知函数在上的图象如图所示,则函数的解析式可能为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
当时,,则,故排除AB.
当时,则,
令,得或,
当或时,,当时,,
所以是函数的极小值点,是函数的极大值点,故C错误;
当时,则,
令,得或,
当或时,,当时,,
所以是函数的极大值点,是函数的极小值点,故D正确
故选:D.
【典例3-5】(2022·江西上饶·二模(理))函数的大致图像为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】
当,,函数为奇函数,排除C;
,排除AD;
故选:B.
【典例3-6】(2022·安徽师范大学附属中学模拟预测(理))双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用,比如悬链桥.在数学中,双曲函数是一类与三角函数类似的函数,最基础的是双曲正弦函数,和双曲余弦函数.下列结论错误的是( )
A.双曲正弦函数图象关于原点中心对称,双曲余弦函数图象关于y轴对称
B.若直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有三个交点,则
C.双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方
D.双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合
【答案】B
【详解】
对于A,由于,故为奇函数,其图象关于原点中心对称,
而,故为偶函数,图象关于y轴对称,
故A正确;
对于B,当时 ,,故在时为增函数,
当时 ,,故在时为减函数,
因此的最小值在 时取到,最小值为1;
又,故在R上为增函数,
又因为,
由此作出,的大致图象,如图示,
由图象可知,当时,直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有2个交点,故B错误;
对于C,由对B的分析可知,双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方,C正确;
对于D,由于,故双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合,D正确,
故选:B
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