专题7 函数与方程（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第7讲  函数与方程

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一、知识梳理

1.函数的零点

(1)概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点.

(2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：

2.函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.

二、考点和典型例题

1、函数零点所在区间的判断

【典例1-1】（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（       ）

A． B． C． D．

【典例1-2】（2021·山西·太原五中高三阶段练习（文））利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（       ）

A． B． C． D．

【典例1-3】（2019·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（       ）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

【典例1-4】（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（       ）

A． B． C． D．

【典例1-5】（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（       ）

A．0 B．2 C．4 D．6

2、图像零点个数的判定

【典例2-1】（2022·北京·模拟预测）已知函数，且，则的零点个数为（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【典例2-2】（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数，则函数的零点个数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【典例2-3】（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）函数．若在内恰有一个零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【典例2-4】（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（       ）

A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个

【典例2-5】（2022·宁夏银川·一模（理））设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3、图像零点的综合应用

【典例3-1】（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【典例3-2】（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【典例3-3】（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（       ）

A． B．或

C．或或 D．或

【典例3-4】（2022·福建三明·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【典例3-5】（2022·山东济宁·二模）已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．