专题14 三角函数的图像和性质（针对训练）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第14练  三角函数的图像和性质

学校____________          姓名____________          班级____________

一、单选题

1．如果函数满足，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为函数满足，所以的图象关于对称，

所以，，

所以，，

所以的最小值为.

故选：B

2．已知函数，则f（x）（       ）

A．在（0，）单调递减 B．在（0，π）单调递增

C．在（—，0）单调递减 D．在（—，0）单调递增

【答案】D

【详解】

，

故当时，，所以不单调，AB错误；

当时，，在上单调递增，

故D正确

故选：D

3．函数的周期为2，下列说法正确的是（       ）

A．

B．是奇函数

C．f（x）在[，]上单调递增

D．的图像关于直线对称

【答案】C

【详解】

由可知，,由此可知选项不正确；

由可知，，

即是偶函数，由此可知选项不正确；

由，解得,

当时，区间上为单调递增，由此可知选项正确；

由，解得，

则直线不是的对称轴，由此可知选项不正确；

故选：.

4．函数的部分图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

设，因为，

所以该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，显然排除AD；

当时，，所以，排除C，

故选：B

5．对任意，用表示不超过x的最大整数，设函数，则（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为，所以，

则，所以，

故.

故选：A.

6．函数在区间上的所有零点之和为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：因为，令，即，当时显然不成立，

当时，作出和的图象，如图，

它们关于点对称，

由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．

故选：C．

7．已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，

由，，得，，

所以的单调递增区间为，，

依题意得，，

所以，，

所以，，

由得，由得，

所以且，

所以或，

当时，，又，所以，

当时，.

综上所述：.

故选：C.

8．已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

解：作出函数和的图象如图：

若方程恰有5个实数解，

则直线处在函数在内的曲线切线和之间．

函数是周期为4的周期函数，

，此时．

，，

此时两个函数不相交．

当，时，，，

，，．

由，得，

则由，得，

整理得，解得，

当，时，，，

，，．

即，将代入整理得，

即，

由判别式得

要使方程恰有5个实数解，则，

即的取值范围为，

故选：B．

二、多选题

9．已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻对称中心的距离为，则（       ）

A．的最小正周期为 B．的最小正周期为

C． D．

【答案】AC

【详解】

因为图象相邻的对称中心与对称轴的距离为，所以最小正周期，故A正确，B不正确；

因为，且，所以，故C正确，D不正确，

故选：AC.

10．已知函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，图象沿x轴向左平移单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是（       ）

A．函数图象的一个对称中心为

B．当c到时，函数的最小值为

C．若，则的值为

D．函数的减区间为

【答案】BCD

【详解】

根据相邻两条对称轴之间的最小距离为，可知周期，故；

图象沿x轴向左平移单位后，得到是偶函数，所以 ，故

当，，故A错.

时，，，故B对.

，其中，故，C对.

令，故函数的减区间为，D对.

故选:BCD

11．已知是函数图像的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若△PBC为等边三角形，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．的最小正周期为8

C．

D．将图像上所有的点向右平移1个单位长度后得到的图像，是图像的一个对称中心

【答案】BC

【详解】

连接BC，设BC的中点为D，与P相邻的函数的图像与x轴的交点为E，F，即E，F为函数图像的两个对称中心，连接PB，PD，则由题意知，故选项A错误；

易知，，所以，，则的最小正周期为8，故选项B正确；

因为，则，，且，所以，故选项C正确；

因为，则将图像上所有的点向右平移1个单位长度后得到的图像，易知不是的图像的对称中心，故选项D错误 ，

故选：BC．

12．（多选题）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（       ）

A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数

C．的最大值为 D．若，则

【答案】BCD

【详解】

对于A，因，则的图象关于对称，不关于对称，A错误；

对于B，因与在上都是增函数，则在上是增函数，B正确；

对于C，因，即是奇函数，

又与的最小正周期分别为与，则的正周期为，

当时，，令，得，即，

当时，，当时，，则在上递增，在上递减，

因此，在上的最大值为，由是奇函数得在上的最大值为，

由的正周期为，则在R上的最大值为，C正确；

对于D，由选项C得，，，，

又，则，

所以当时，，D正确．

故选：BCD

三、解答题

13．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)(2)最大值为，最小值为

【解析】(1)

解：∵，

∴，即函数的最小正周期为．

(2)解：在区间上，，

∴，

∴，

∴的最大值为，的最小值为．

14．已知函数，且函数的最小正周期为.

(1)求的解析式，并求出的单调递增区间；

(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合.

【答案】(1)，;

(2)，.

【解析】(1)

由函数的最小正周期为,则，

故，

令，解得，

故的单调递增区间为.

(2)，

则的最大值为，

此时有，即，

故，解得，

所以当取得最大值时的取值集合为.

15．已知函数．

(1)求函数的最小正周期和对称中心；

(2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围．

【答案】(1)最小正周期，对称中心为

(2)

【解析】(1)

        =

        =

        =

=

所以，最小正周期，

由，得

所以，对称中心为．

(2)

因为，所以，

由正弦曲线可得．

16．已知函数.

(1)求函数在上单调递增区间；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来的，向上平移1个单位长度得到函数的图象，求函数在上的最值.

【答案】(1)函数的单调递增区间是；

(2)最小值为，最大值为

【解析】(1)

，

令，因为 ，所以，

所以在上单调递递增，函数在上单调递增.

(2)

由将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来的，向上平移1个单位长度得到函数的图象，得：，

因为，所以 ，所以，

所以函数在上的最小值为，最大值为.