专题14 三角函数的图像和性质（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

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第14讲  三角函数的图像和性质 学校____________          姓名____________          班级____________  一、知识梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图像定义域RR{x x≠kπ＋}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π，2kπ]递减区间[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ无二、考点和典型例题1、三角函数的定义域和值域【典例1-1】（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（       ）A．  B．C． D． 【答案】C【详解】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为 故选：C【典例1-2】（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）函数，若，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：函数，，，因为，则所以，因为，所以，一个为的最大值，一个为最小值，则，或解得，或所以（i），或（ii）对于（i），当时，的最小值是，对于（ii），当时，的最小值是，综上，的最小值是，故选：D【典例1-3】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数，则下列结论中正确的是（       ）A．函数的最小正周期为 B．时取得最小值C．关于对称 D．时取得最大值【答案】D【详解】因为，所以，所以，所以函数的最小正周期，A错误，，BC错误，，D正确.故选：D.【典例1-4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则m的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为不等式对恒成立，所以不等式对恒成立，令，因为，所以，则，所以，所以，解得，所以m的最小值为，故选：D【典例1-5】（2022·重庆八中高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，则，要使f(x)在上的值域是，则.故选：C.  2、三角函数的周期性、奇偶性、对称性【典例2-1】（2022·山东威海·三模）己知函数为偶函数，则(       )A．0 B． C． D．【答案】C【详解】∵f(x)定义域为R，且为偶函数，∴，，．当时，为偶函数满足题意．故选：C．【典例2-2】（2022·天津和平·三模）函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，而为偶函数，所以，即，而，所以的最小值是．故选：B．【典例2-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数的图像经过点，则的最小正周期为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的图像经过点，所以，得，所以，得，所以，所以，所以，所以的最小正周期为，故选：C【典例2-4】（2022·陕西西安·一模（理））若函数的最小正周期为，则是（       ）A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．是奇函数也是偶函数【答案】B【详解】因为函数的最小正周期为，解得，所以，，所以，函数为偶函数.故选：B.【典例2-5】（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数的最小值周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（       ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题可得，即，则函数的解析式为，将的图象向右平移个单位长度所得的函数解析式为：，又函数图象关于轴对称，当时，，则①，令，可得：，其余选项不适合①式.故选：B．  3、三角函数的单调性【典例3-1】（2022·天津南开·三模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（       ）A． B． C．3 D．4【答案】B【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数，因为，所以，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的值可能为，故选：B【典例3-2】（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（     ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，令，解得，，因为，所以，则，故，解得 ，所以最大值为．故选：B．【典例3-3】（2022·全国·模拟预测（文））将函数的图象向左平移个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则使得单调递增的一个区间是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则，则单调递增区间为：，则当时，.故选：C.【典例3-4】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】A.因为，所以是偶函数，，在上单调递增，当时，，当时，，在上单调递增，故正确；B. ，所以是偶函数，易知在 上递增，在上递减，故错误；C. ，所以是偶函数，易知在上递减，故错误；D. 因为，所以，则不是偶函数，故错误；故选：A【典例3-5】（2022·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，即，若在上单调递减，则的周期，即，得，由，，得，，即，即的单调递减区间为，，若在上单调递减，则，，即，，当时，，即的取值范围是.故选：D．【典例3-6】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数.(1)求函数在上的单调增区间；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：，，，，令，解得，所以的单调增区间为.令得区间为，所以在上的单调增区间为；(2)因为，所以，又，且，所以，则所以.【典例3-7】（2022·浙江·三模）已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)令解之得 ∴的单调递增区间为(2)对任意，都有，∵，∴，∴，∴实数的范围为．