专题16 平面向量及其应用（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

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第16讲   平面向量及其应用学校____________          姓名____________          班级____________ 一、知识梳理1.平面向量基本定理(1)平面向量的基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.2.平面向量的坐标一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).3.平面向量的坐标运算(1)平面向量线性运算的坐标表示假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).(2)向量模的坐标计算公式如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.(3)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.4.向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.5.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.(2)向量的垂直：当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直.(3)数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b, 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(4)数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量__为向量a在直线l上的投影向量或投影.②投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.③两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.6.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝＝.(3)夹角：cos θ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.7.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).8.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系. 二、考点和典型例题1、平面向量基本定理【典例1-1】（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，，因为所以有，因此，因为，，，所以，故选：B【典例1-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知均为单位向量，且满足，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，同理．故选：B.【典例1-3】（2022·江西·模拟预测（理））已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（       ）A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]【答案】C【详解】取EF的中点M，连接CM，则，，又，所以，所以，当且仅当向量与共线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6，故选：C．【典例1-4】（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（       ）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】，而，故，而且不共线，故，故选：C.【典例1-5】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））设，是平面内两个不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（       ）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【详解】因为A，B，C三点共线，所以向量、共线，所以存在，使得，即，即，因为、不共线，所以，消去，得，因为，，所以，当且仅当，时，等号成立.故选：A 2、坐标运算及其数量积【典例2-1】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（       ）A．0 B．48 C． D．【答案】C【详解】由题意，得，又与反向共线，故，此时，故.故选：C.【典例2-2】（2022·全国·二模（理））已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为向量，，，所以，又，，所以，解得，所以向量的坐标为，故选：D.【典例2-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（       ） A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，，，，则，，，设，则，则，，，，，，，，其中，，当时，，当时，，当时，取得最大值，最大值为．故选：A．【典例2-4】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，两边平方可得：，因为向量，为单位向量，所以，即.因为，所以，即与的夹角为.故选：C【典例2-5】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（       ）A． B．C．方向上的投影是 D．【答案】C【详解】由已知，，所以，，因为，所以不平行，A错，因为，所以不垂直，B错，因为方向上的投影为，C对，因为，所以不垂直，D错，故选：C.  3、综合应用【典例3-1】（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形的边长为，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，则.故选：A.【典例3-2】（2022·北京工业大学附属中学三模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（       ）A． B．2 C． D．2【答案】A【详解】如图，设，当时，取得最小值，过作，即取得最小值为，因为与的夹角为，所以，所以.故选：A.【典例3-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））若向量，满足，，，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，，，所以，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以；故选：B【典例3-4】（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．设， 则由，可得则，解之得，则则又，则，解之得，即的长为4故选：C【典例3-5】（2022·宁夏·平罗中学三模（文））已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，(1)若，求角的大小；(2)在（1）的条件下，，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】(1)由题所以，即又因为，所以，.(2)由余弦定理，代入数据得：，整理得到解得，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.【典例3-6】（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．(1)求四边形ABCD的面积；(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：在中，在中，∵A，B，C，D四点共圆，∴，∴，∴，因为，所以，所以，，(2)解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为，所以，．