高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲第1课时三角函数公式的基本应用学案

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知识梳理·双基自测
eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理)
知识点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝ 2sin αcs α ；
(2)cs 2α＝ cs2α－sin2α ＝ 2cs2α －1＝1－ 2sin2α ；
(3)tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α) (α≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)且α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)．
知识点三 半角公式(不要求记忆)
(1)sin eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))；
(2)cs eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))；
(3)tan eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
eq \x(重)eq \x(要)eq \x(结)eq \x(论)
1．降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
2．升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．
eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))；eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))
cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α)，sin 2α＝eq \f(2tan α,1＋tan2α)，cs 2α＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)，1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
4．辅助角(“二合一”)公式：
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，
其中cs φ＝ eq \f(a,\r(a2＋b2)) ，sin φ＝ eq \f(b,\r(a2＋b2)) .
eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测)
题组一 走出误区
1．判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)
(1)存在实数α，β使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cs Acs B大小不确定．( × )
(3)对任意角α都有1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))2.( √ )
(4)y＝3sin x＋4cs x的最大值是7.( × )
(5)公式tan (α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
[解析] 根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(4)(5)是错误的，(1)(3)是正确的．
题组二 走进教材
2．(必修4P131T5改编)计算sin 43°cs 13°＋sin 47°cs 103°的结果等于( A )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 原式＝sin 43°cs 13°－cs 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).故选A.
另解：原式＝cs 47°cs 13°－sin 47°sin 13°＝cs(47°＋13°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).故选A.
3．(必修4P135T5改编)cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝( B )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(2),2)
[解析] cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
4．(必修4P146A组T4改编)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值为( D )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2.故选D.
题组三 走向高考
5．(2020·课标Ⅱ，13,5分)若sin x＝－eq \f(2,3)，则cs 2x＝ eq \f(1,9) .
[解析] ∵sin x＝－eq \f(2,3)，∴cs 2x＝1－2sin2x＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2＝eq \f(1,9).
6．(2020·江苏，8,5分)已知sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2,3)，则sin 2α的值是 eq \f(1,3) .
[解析] ∵sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α)),2)＝eq \f(1＋sin 2α,2)＝eq \f(2,3)，∴sin 2α＝eq \f(1,3).
7．(2020·浙江，13,6分)已知tan θ＝2，则cs 2θ＝ －eq \f(3,5) ，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝ eq \f(1,3) .
[解析] 因为tan θ＝2，所以cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(1－4,1＋4)＝－eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(tan θ－tan \f(π,4),1＋tan θtan \f(π,4))＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3).
考点突破·互动探究
考点一 三角函数公式的直接应用——自主练透
例1 (1)若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ ( C )
A．－eq \f(\r(2),10) B．eq \f(\r(2),10)
C．－eq \f(7\r(2),10) D．eq \f(7\r(2),10)
(2)(2020·全国Ⅲ·9)已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ＝( D )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(3)(2020·甘肃兰州一中高三上期中)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，则sin 2α＝( D )
A.eq \f(7,25) B．eq \f(1,5)
C．－eq \f(1,5) D．－eq \f(7,25)
(4)(2020·吉林百校联盟9月联考)已知tan B＝2tan A，且cs Asin B＝eq \f(4,5)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－B－\f(3π,2)))＝( D )
A．－eq \f(4,5) B．eq \f(4,5)
C．－eq \f(2,5) D．eq \f(2,5)
[解析] (1)因为cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs αsin eq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
(2)本题考查两角和的正切公式的应用．∵2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，∴2tan θ－eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝7，∴2tan θ－2tan2 θ－1－tan θ＝7－7tan θ，即tan2θ－4tan θ＋4＝0，解得tan θ＝2.
(3)由三角函数的诱导公式得cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin 2α，所以sin 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))，由二倍角公式可得sin 2α＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2－1＝eq \f(18,25)－eq \f(25,25)＝－eq \f(7,25).故选D.
(4)由tan B＝2tan A，可得cs Asin B＝2sin Acs B．
又cs Asin B＝eq \f(4,5)，∴sin Acs B＝eq \f(2,5)，
则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－B－\f(3π,2)))＝－sin(A－B)＝－sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(2,5).故选D.
名师点拨
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
考点二 三角函数公式的逆用与变形用——多维探究
角度1 公式的逆用
例2 (1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C＝ eq \f(\r(2),2) .
(2)cs eq \f(π,9)cs eq \f(2π,9)cs eq \f(3π,9)cs eq \f(4π,9)＝ eq \f(1,16) .
(3)eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝ eq \f(1,4) .
(4)化简eq \f(sin235°－\f(1,2),cs 10°cs 80°)＝ －1 .
[解析] (1)tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(tan Atan B－1,1－tan Atan B)＝－1，
∴tan C＝1，又C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4)，∴cs C＝eq \f(\r(2),2).
(2)解法一：cs eq \f(π,9)cs eq \f(2π,9)cs eq \f(3π,9)cs eq \f(4π,9)
＝eq \f(1,2)cs eq \f(π,9)cs eq \f(2π,9)cseq \f(4π,9)
＝eq \f(1,2)·eq \f(8sin \f(π,9)cs \f(π,9)cs \f(2π,9)cs \f(4π,9),8sin \f(π,9))
＝eq \f(1,2)·eq \f(4sin \f(2π,9)cs \f(2π,9)cs \f(4π,9),8sin \f(π,9))
＝eq \f(1,2)·eq \f(2sin \f(4π,9)cs \f(4π,9),8sin \f(π,9))
＝eq \f(1,2)·eq \f(sin \f(8π,9),8sin \f(π,9))＝eq \f(1,2)·eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,9))),8sin \f(π,9))＝eq \f(1,2)·eq \f(sin \f(π,9),8sin \f(π,9))＝eq \f(1,16).
解法二：由sin 2α＝2sin αcs α，得cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α)，
∴原式＝eq \f(sin \f(2π,9),2sin \f(π,9))·eq \f(sin \f(4π,9),2sin \f(2π,9))·eq \f(1,2)·eq \f(sin \f(8π,9),2sin \f(4π,9))＝eq \f(1,16).
(3)eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)
＝eq \f(2sin 10°cs 10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)))＝eq \f(sin 20°,4sin30°－10°)＝eq \f(1,4).
(4)eq \f(sin235°－\f(1,2),cs 10°cs 80°)＝eq \f(\f(1－cs 70°,2)－\f(1,2),cs 10°sin 10°)＝eq \f(－\f(1,2)cs 70°,\f(1,2)sin 20°)＝－1.
角度2 公式的变形应用
例3 (1)(2020·天津耀华中学模拟)已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，则lg eq \s\d7(\r(5)) (eq \f(tan α,tan β))2＝( B )
A．5 B．4
C．3 D．2
(2)(2020·陕西吴起高级中学模拟)已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( A )
A.eq \f(1,6) B．－eq \f(1,6)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
[解析] (1)∵sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，
∴sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(1,2)，sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，
∴sin αcs β＝eq \f(5,12)，cs αsin β＝eq \f(1,12)，
∴eq \f(tan α,tan β)＝5，∴lg eq \s\d7(\r(5))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan α,tan β)))2＝lg eq \s\d7(\r(5))52＝4，故选B.
(2)∵sin 2α＝eq \f(2,3)，∴cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6)，故选A.
名师点拨
(1)注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
②注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
(2)熟记三角函数公式的2类变式
①和差角公式变形：
sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β，
cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．
②倍角公式变形：
降幂公式cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
配方变形：1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2,1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2).
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(多选题)(2020·河北武邑中学调研)下列式子的运算结果为eq \r(3)的是( ABC )
A．tan 25°＋tan 35°＋eq \r(3)tan 25°tan 35°
B．2(sin 35°cs 25°＋cs 35°cs 65°)
C．eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)
D.eq \f(tan \f(π,6),1－tan2\f(π,6))
(2)(角度2)(2018·课标Ⅱ，15)已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ －eq \f(1,2) .
[解析] (1)对于A，tan 25°＋tan 35°＋eq \r(3)tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋eq \r(3)tan 25°tan 35°＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 25°tan 35°＋eq \r(3)tan 25°tan 35°＝eq \r(3).
对于B,2(sin 35°cs 25°＋cs 35°cs 65°)
＝2(sin 35°cs 25°＋cs 35°sin 25°)＝2sin 60°＝eq \r(3).
对于C，eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan 60°＝eq \r(3).
对于D，eq \f(tan \f(π,6),1－tan2\f(π,6))＝eq \f(1,2)×eq \f(2tan \f(π,6),1－tan2\f(π,6))＝eq \f(1,2)×tan eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
综上，式子的运算结果为eq \r(3)的是ABC.故选A、B、C.
(2)本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式．
由sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，
两式平方相加，得2＋2sin αcs β＋2cs αsin β＝1，整理得sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
利用平方关系：sin2α＋cs2α＝1，进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧，应熟练掌握.
考点三 角的变换与名的变换——师生共研
例4 (1)(2018·课标全国Ⅱ，15)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，则tan α＝ eq \f(3,2) .
(2)已知α、β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，则sin β＝ eq \f(\r(3),2) .
(3)(2018·课标全国Ⅱ，15)设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))的值为( B )
A.eq \f(7,25) B．eq \f(7\r(2)－8,18)
C．－eq \f(17\r(2),50) D．eq \f(\r(2),5)
[解析] (1)本题主要考查两角差的正切公式．
解法一：tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＋\f(5π,4)))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＋tan \f(5π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))tan \f(5π,4))＝eq \f(3,2).
解法二：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(tan α－tan \f(5π,4),1＋tan αtan \f(5π,4))＝eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝eq \f(1,5)，
解得tan α＝eq \f(3,2).
(2)因为已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
且cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4\r(3),7)，
sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，
则sin β＝sin [(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α
＝eq \f(5\r(3),14)×eq \f(1,7)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(\r(3),2).
(3)∵α为锐角，∴0<α∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)－\f(π,4)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2β－\f(π,4)))＝sin 2βcs eq \f(π,4)－cs 2βsin eq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4\r(2),9)))×eq \f(\r(2),2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(7\r(2)－8,18).故选B.
名师点拨
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
〔变式训练2〕
(1)(2020·全国Ⅲ，5)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝( B )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(2),2)
(2)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,4)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝( B )
A.eq \f(7,25) B．eq \f(9,25)
C．eq \f(16,25) D．eq \f(24,25)
[解析] (1)解法一：本题考查两角和的正弦公式以及辅助角公式．因为sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝sin θ＋eq \f(1,2)sin θ＋eq \f(\r(3),2)cs θ＝eq \f(3,2)sin θ＋eq \f(\r(3),2)cs θ＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝1，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).故选B.
解法二：由已知得sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝1，∴eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝1，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).
(2)由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(3,4)，
解得tan α＝－eq \f(1,7)，
所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)),2)＝eq \f(1＋sin 2α,2)＝eq \f(1,2)＋sin αcs α，
又sin αcs α＝eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan α,tan2α＋1)＝－eq \f(7,50)，
故eq \f(1,2)＋sin αcs α＝eq \f(9,25).
名师讲坛·素养提升
辅助角公式的应用
应用1 求值
例5 (2020·届安徽江淮十校联考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( C )
A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3)
C．－1 D．±1
[解析] ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，∴cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋cs xcs eq \f(π,3)＋sin xsin eq \f(π,3)＝eq \f(3,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝－1.
应用2 求最值
例6 (2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝2cs x＋sin x的最大值为 eq \r(5) .
(2)函数f(x)＝2eq \r(3)sin x·cs x－2sin2x的值域为[－3,1].
[分析] (1)直接利用辅助角公式化为Asin(ωx＋φ)；
(2)高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用辅助角公式化为Asin(ωx＋φ)．
[解析] (1)f(x)＝eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x·\f(2\r(5),5)＋sin x·\f(\r(5),5)))＝eq \r(5)sin(x＋φ)(其中cs φ＝eq \f(\r(5),5)，sin φ＝eq \f(2\r(5),5))，
显然f(x)的最大值为eq \r(5).
(2)f(x)＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x－1
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2x＋\f(1,2)cs 2x))－1
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1.
显然f(x)max＝1，f(x)min＝－3.
故f(x)的值域为[－3,1]．
应用3 求单调区间
例7 函数f(x)＝cs2x＋eq \r(3)sin xcs x(x∈[0，π])的单调递减区间为( B )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
[解析] 函数f(x)＝cs2x＋eq \r(3)sin xcs x＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2).由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，可得单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，故选B.
名师点拨
用辅助角公式变形三角函数式时：
(1)遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组；
(2)遇高次时，要先降幂；
(3)熟记以下常用结论：
①sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4)))；
②eq \r(3)sin α±cs α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,6)))；
③sin α±eq \r(3)cs α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,3))).
〔变式训练3〕
(1)(2020·湖南浏阳一中期中)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＋cs α＝－eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝( C )
A．－eq \f(2\r(2),3) B．eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(1,3) D．eq \f(1,3)
(2)(2020·北京，14)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cs x的最大值为2，则常数φ的一个取值为 eq \f(π,2)(取值满足φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)即可) .
(3)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的增区间为( B )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(2π,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3)))
[分析] (1)将sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))展开后重组再用辅助角公式化简．
[解析] (1)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＋cs α＝－eq \f(\r(3),3)，
∴eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＋cs α＝－eq \f(\r(3),3)，
即eq \f(\r(3),2)sin α＋eq \f(3,2)cs α＝－eq \f(\r(3),3)
∴eq \f(1,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝－eq \f(1,3)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，故选C.
(2)本题考查三角恒等变换及辅助角公式的应用．
f(x)＝sin(x＋φ)＋cs x＝sin xcs φ＋cs xsin φ＋cs x＝cs φsin x＋(sin φ＋1)cs x＝eq \r(cs2φ＋sin φ＋12)·sin(x＋θ)(其中tan θ＝eq \f(sin φ＋1,cs φ))，由f(x)的最大值为2，所以eq \r(cs2φ＋sinφ＋12)＝2，化简可得sin φ＝1，则φ可为eq \f(π,2)，其取值满足φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)即可．
(3)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x＝cs xsin x－eq \f(\r(3),2)(1＋cs 2x)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x－eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，有0≤2x－eq \f(π,3)≤π，从而当0≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)时，即eq \f(π,6)≤x≤eq \f(5π,12)时，f(x)单调递增；综上可知，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增，故选B.