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人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案，共4页。
平面向量的基本定理。
（二）教材分析
1. 教材来源
本节课选自人民教育出版社2019版必修第二册第六章第三节第一课时。
2. 地位与作用
本节内容是继平面向量的概念、运算之后的又一重点内容，它是共线向量定理的推广，是平面向量正交分解的基础，是将向量转化为代数运算的基础，具有承前启后的作用。
（三）学情分析
1.认知基础：
本节内容是学生已经学习了平面向量的概念，平面向量的线性运算，数量积，又有共线向量定理的基础。
2.认知障碍：
学生对向量的认识停留在一维层次，上升到平面基本定理揭示的二维层次有难度，由力的分解的物理模型想到向量的分解的抽象，再到是任意一个向量都可以用一对不共线的向量经过线性运算加以表示的抽象都是一种飞跃，这对学生造成认知上的困难，再有定理中的“不共线”“ 任一”“有且只有”等专业用语对学生都会构成理解障碍。
（四）教学目标
1. 知识目标：
理解平面向量基本定理及其意义；会应用平面向量基本定理解决简单平面几何问题。
能力目标：
通过平面向量基本定理的发现与证明提升学生发现问题的能力和运算能力，在应用中培养学生的解决问题的能力。
3.素养目标：发展学生的数学抽象，逻辑推理、数学运算的素养.
（五）教学重难点：
1.重点：平面向量基本定理，定理的发现和证明过程。
2.难点：平面向量基本定理的发现过程和定理证明。
（六）教学思路与方法
本教学不是简单地告诉定理加以证明，而是通过多举实例，从学生熟悉的背景，带领学生理解定理，引导学生从事观察 、思考、归纳、类比、交流等教学活动，经历从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程。
课前准备
PPT
（八）教学过程
教学环节：新课引入
教学内容
师生活动
设计意图
问题1：向量数乘运算刻画了共线向量间的关系，给我们研究向量共线带来了极大的方便，那么，共线向量定理能不能推广到平面上呢？
学生独立思考
引起学生的兴趣，激发学生思考。
教学环节：新知探究
教学内容
师生活动
设计意图
问题1：根据物理知识，一个力可以根据解决实际问题的需要做不同的分解，将其分解成、大小、方向不同的分力，受力的分解的启发，我们能否通过平行四边形，将向量分解成两个向量，使向量是两个向量的和呢？
问题2：如果是两个不共线的确定向量。请同学们作出向量
追问1：那么与在同一平面内的任一非零向量能否用表示？是零向量呢？
追问2：给定是两个不共线的确定向量，平面任一向量是否可以用形如的向量来表示呢？这种表示形式唯一吗？
追问3:由物理中力的分解引出向量的分解，类比共线向量的基本定理，得出平面向量的基本定理。
学生回忆、观察，教师启发学生以力的分解为背景引出向量的分解
学生操作、尝试、探究，教师巡视指导。学生展示交流。
学生思考交流
师生共同总结定理
学生独立思考，相互交流
从学生熟悉的物理背景引入向量的分解，激发学生
学习的主动性。
让学生思考，操作，交流，探索平面向量的关系。
通过几个逐步递进的问题串，明确研究的问题，让学生经历发现平面向量的基本定理，证明定理的全过程。
教学环节：例题解析
教学内容
师生活动
设计意图
例1．如图不共线，且，用表示
例2．如图，是的中线，,用向量的方法证明是直角三角形。
师生共同解决两个例题。
落实平面向量基本定理。
教学环节：课堂练习
1.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：
①eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))；③eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))；④eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→)).
其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
2.如图所示，矩形ABCD中，若eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq \(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq \(OC,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)(5e1＋3e2) B.eq \f(1,2)(5e1－3e2)
C.eq \f(1,2)(2e2＋5e1) D.eq \f(1,2)(5e2＋3e1)
学生独立完成，师生共同核实答案。
根据教学目标，巩固平面向量基本定理，及基底的概念。
教学环节：小结思考 布置作业
通过本节课的学习:
（1）你学到了哪些数学知识？
（2）你掌握了哪些解题方法？
（3）你体会了哪些数学思想？
作业：课本27页 练习1，2，3
学生总结
及时梳理复习，加深学生知识的印象
教学环节：板书设计
6.3.1平面向量的基本定理
1.基底 例1：
2.平面向量基本定理 例2：
平面向量的基本定理。
（二）教材分析
1. 教材来源
本节课选自人民教育出版社2019版必修第二册第六章第三节第一课时。
2. 地位与作用
本节内容是继平面向量的概念、运算之后的又一重点内容，它是共线向量定理的推广，是平面向量正交分解的基础，是将向量转化为代数运算的基础，具有承前启后的作用。
（三）学情分析
1.认知基础：
本节内容是学生已经学习了平面向量的概念，平面向量的线性运算，数量积，又有共线向量定理的基础。
2.认知障碍：
学生对向量的认识停留在一维层次，上升到平面基本定理揭示的二维层次有难度，由力的分解的物理模型想到向量的分解的抽象，再到是任意一个向量都可以用一对不共线的向量经过线性运算加以表示的抽象都是一种飞跃，这对学生造成认知上的困难，再有定理中的“不共线”“ 任一”“有且只有”等专业用语对学生都会构成理解障碍。
（四）教学目标
1. 知识目标：
理解平面向量基本定理及其意义；会应用平面向量基本定理解决简单平面几何问题。
能力目标：
通过平面向量基本定理的发现与证明提升学生发现问题的能力和运算能力，在应用中培养学生的解决问题的能力。
3.素养目标：发展学生的数学抽象，逻辑推理、数学运算的素养.
（五）教学重难点：
1.重点：平面向量基本定理，定理的发现和证明过程。
2.难点：平面向量基本定理的发现过程和定理证明。
（六）教学思路与方法
本教学不是简单地告诉定理加以证明，而是通过多举实例，从学生熟悉的背景，带领学生理解定理，引导学生从事观察 、思考、归纳、类比、交流等教学活动，经历从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程。
课前准备
PPT
（八）教学过程
教学环节：新课引入
教学内容
师生活动
设计意图
问题1：向量数乘运算刻画了共线向量间的关系，给我们研究向量共线带来了极大的方便，那么，共线向量定理能不能推广到平面上呢？
学生独立思考
引起学生的兴趣，激发学生思考。
教学环节：新知探究
教学内容
师生活动
设计意图
问题1：根据物理知识，一个力可以根据解决实际问题的需要做不同的分解，将其分解成、大小、方向不同的分力，受力的分解的启发，我们能否通过平行四边形，将向量分解成两个向量，使向量是两个向量的和呢？
问题2：如果是两个不共线的确定向量。请同学们作出向量
追问1：那么与在同一平面内的任一非零向量能否用表示？是零向量呢？
追问2：给定是两个不共线的确定向量，平面任一向量是否可以用形如的向量来表示呢？这种表示形式唯一吗？
追问3:由物理中力的分解引出向量的分解，类比共线向量的基本定理，得出平面向量的基本定理。
学生回忆、观察，教师启发学生以力的分解为背景引出向量的分解
学生操作、尝试、探究，教师巡视指导。学生展示交流。
学生思考交流
师生共同总结定理
学生独立思考，相互交流
从学生熟悉的物理背景引入向量的分解，激发学生
学习的主动性。
让学生思考，操作，交流，探索平面向量的关系。
通过几个逐步递进的问题串，明确研究的问题，让学生经历发现平面向量的基本定理，证明定理的全过程。
教学环节：例题解析
教学内容
师生活动
设计意图
例1．如图不共线，且，用表示
例2．如图，是的中线，,用向量的方法证明是直角三角形。
师生共同解决两个例题。
落实平面向量基本定理。
教学环节：课堂练习
1.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：
①eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))；③eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))；④eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→)).
其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
2.如图所示，矩形ABCD中，若eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq \(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq \(OC,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)(5e1＋3e2) B.eq \f(1,2)(5e1－3e2)
C.eq \f(1,2)(2e2＋5e1) D.eq \f(1,2)(5e2＋3e1)
学生独立完成，师生共同核实答案。
根据教学目标，巩固平面向量基本定理，及基底的概念。
教学环节：小结思考 布置作业
通过本节课的学习:
（1）你学到了哪些数学知识？
（2）你掌握了哪些解题方法？
（3）你体会了哪些数学思想？
作业：课本27页 练习1，2，3
学生总结
及时梳理复习，加深学生知识的印象
教学环节：板书设计
6.3.1平面向量的基本定理
1.基底 例1：
2.平面向量基本定理 例2：
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