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高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6讲指数与指数函学案
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ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理
知识点一 指数与指数运算
1．根式
(1)根式的概念
(2)两个重要公式
①eq \r(n,a)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a ，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a （a≥0），,－a （a<0），))n为偶数.))
②(eq \r(n,a))n＝a(注意a必须使eq \r(n,a)有意义)．
2．分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂是 eq a\s\up10(\f(m,n)) ＝eq \r(n,a)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂是a - eq \s\up10(\f (m,n)) ＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．
3．有理指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
知识点二 指数函数图象与性质
指数函数的概念、图象和性质
重要结论
1．画指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1)．
2．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0
双基自测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq \r(n,an)＝(eq \r(n,a))n＝a(a∈N*)．( × )
(2)a－eq \s\up6(\f(m,n))＝－aeq \s\up6(\f(m,n))(n，m∈N*)．( × )
(3)函数y＝3·2x，与y＝2x＋1都不是指数函数．( √ )
(4)若am
[解析] (1)n为奇数时正确，n为偶数时不一定正确；(2)不正确，a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))；(3)y＝2x×2与y＝3×2x都不是指数函数；(4)当a>1时m
题组二 走进教材
2．(必修1P59AT2改编)设a>0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂，其结果是( C )
A．aeq \s\up6(\f(1,2)) B．aeq \s\up6(\f(5,6))
C．aeq \s\up6(\f(7,6)) D．aeq \s\up6(\f(3,2))
[解析] 由题意得eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝a2－ eq \s\up7(\f(1,2)) － eq \s\up7(\f(1,3)) ＝aeq \s\up6(\f(7,6))，故选C．
3．(必修1P60BT2改编)已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于( B )
A．5 B．7
C．9 D．11
[解析] f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝[f(a)]2－2＝7.故选B．
4．(必修1P82AT10改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，则f(－1)＝eq \r(2)．
[解析] a2＝eq \f(1,2)，∴a＝eq \f(\r(2),2)，f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(－1)＝eq \r(2).
题组三 走向高考
5．(2020·全国Ⅰ，8)设alg34＝2，则4－a＝( B )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,9)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,6)
[解析] 本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式．因为alg34＝lg34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝eq \f(1,4a)＝eq \f(1,9)，故选B．
另：alg34＝2⇒lg34＝eq \f(2,a)，∴3eq \s\up6(\f(2,a))＝4，∴4－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\s\up6(\f(2,a))))eq \s\up12(－a)＝eq \f(1,9).
6．(2017·北京，5分)已知函数f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，则f(x)( A )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
[解析] 因为f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－3x＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(x)))＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上是减函数，所以f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上是增函数，故选A．
7．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2eq \s\up6(\f(4,3))，b＝4eq \s\up6(\f(2,5))，c＝25eq \s\up6(\f(1,3))，则( A )
A．b
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点一 指数与指数运算——自主练透
例1 (1)(多选题)下列命题中不正确的是( ACD )
A．eq \r(n,an)＝a
B．a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
C．eq \r(3,x4＋y3)＝xeq \s\up6(\f(4,3))·y
D．eq \r(3,－5)＝eq \r(6,（－5）2)
(2)计算2eq \r(3)×eq \r(3,1.5)×eq \r(6,12)＝6．
(3)化简：(eq \f(1,4))－ eq \s\up7(\f(1,2)) ·eq \f(（\r(4ab－1)）3,（\f(1,10)）－1·（a3·b－3）\s\up6(\f(1,2)))＝eq \f(8,5)．
(4)已知aeq \s\up6(\f(1,2))＋a－eq \s\up6(\f(1,2))＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③eq \f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1).
[解析] (1)若n是奇数，则eq \r(n,an)＝a；若n是偶数，则eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0，))所以A错误；因为a2－a＋1恒不为0，所以(a2－a＋1)0有意义且等于1，所以B正确；eq \r(3,x4＋y3)不能化简为xeq \s\up6(\f(4,3))·y，所以C错误；因为eq \r(3,－5)<0，eq \r(6,（－5）2)>0，所以eq \r(3,－5)≠eq \r(6,（－5）2)，所以D错误．故选A、C、D．
(2)原式＝2×3eq \s\up6(\f(1,2))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up6(\f(1,3))×12eq \s\up6(\f(1,6))
＝2×3eq \s\up6(\f(1,2))×3eq \s\up6(\f(1,3))×2－eq \f(1,3)×3eq \s\up6(\f(1,6))×2eq \s\up6(\f(1,3))
＝2×3 eq \s\up7(\f(1,2)) ＋ eq \s\up7(\f(1,3)) ＋ eq \s\up7(\f(1,6)) ×2－ eq \s\up7(\f(1,3)) ＋ eq \s\up7(\f(1,3)) ＝6.
(3)原式＝2×eq \f(23·a\s\up6(\f(3,2))·b\s\up6(－\f(3,2)),10·a\s\up6(\f(3,2))·b\s\up6(－\f(3,2)))＝21＋3×10－1＝eq \f(8,5).故填eq \f(8,5).
(4)①将aeq \s\up6(\f(1,2))＋a－eq \s\up6(\f(1,2))＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.
②将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.
③由①②可得eq \f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq \f(47＋1,7＋1)＝6.
名师点拨 MING SHI DIAN BO
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
考点二 考点二 指数函数图象与性质
考向1 指数函数的图象及应用——师生共研
例2 (1)(2021·秦皇岛模拟)函数f(x)＝21－x的大致图象为( A )
(2)(2021·湖北黄冈质检)函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝xb的图象如图，则下列不等式一定成立的是( D )
A．ba>0 B．a＋b>0
C．ab>1 D．lga2>b
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是[－1，1]．
[分析] (1)将函数化为f(x)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的形式，根据函数的性质及过定点，并结合选项判断；
(2)由图确定a、b的范围求解；
(3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解．
[解析] (1)解法一：函数f(x)＝21－x＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．
解法二：(采用平移法)因为函数f(x)＝21－x＝2－(x－1)，所以先画出函数y＝2－x的图象，再将y＝2－x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位，只有选项A符合．
(2)由图可知，y＝ax单调递增，则a>1；y＝xb单调递减，则b<0，
A：ba>0不一定成立，如a＝3，b＝－1；
B：a＋b>0不一定成立，如a＝2，b＝－3；
C：ab>1不成立，ab<0；故选D．
(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
[引申](1)f(x)＝a1－x＋3的图象过定点(1，4)．
(2)若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，b的取值范围是(0，1)．
(3)若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是(－∞，0]．
[解析] (1)当x＝1时，y＝4，因此函数y＝a1－x＋3过定点(1，4)．
(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0，1)．
(3)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，eq \f(1,a))．由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断．
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
〔变式训练1〕
(1)函数y＝ax－eq \f(1,a)(a>0，a≠1)的图象可能是( D )
(2)(多选题)已知实数a，b满足等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)＝(eq \f(1,3))b，下列关系式中不可能成立的是( CD )
A．0
[解析] (1)当a>1时，函数单调递增，且函数的图象恒过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1－\f(1,a))).
因为0<1－eq \f(1,a)<1，所以A、B均不正确；当0
(2)在同一坐标系内，作出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的图象(如图)．
如图：a>b>0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(b)可能成立．
a
b
(3)作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m>0.
考向2 指数函数的性质及其应用——多维探究
角度1 比较指数幂的大小
例3 已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(2,3))，b＝2－eq \f(4,3)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(1,3))，则下列关系式中正确的是( B )
A．c
例4 (1)已知实数m≠2，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－1，x≥0，,9m－x，x<0，))若f(2－m)＝f(m－2)，则m的值为－3．
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为{x|x>4或x<0}．
[解析] (1)当m<2时，32－m－1＝9m－m＋2，即3－m＋1＝34，解得m＝－3；
当m>2时，9m－(2－m)＝3m－2－1，即34m－4＝3m－3，解得m＝eq \f(1,3)(舍)，故m＝－3.
(2)∵f(x)为偶函数，f(x)在[0，＋∞)上递增，
且f(2)＝0，∴|x－2|>2，解得x>4或x<0.
角度3 与指数函数有关的复合函数问题
例5 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝eq \f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是( B )
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
[解析] 由f(1)＝eq \f(1,9)得a2＝eq \f(1,9)，
又a>0，所以a＝eq \f(1,3)，因此f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(|2x－4|).
∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(t)为减函数，∴f(x)的减区间为t＝|2x－4|的递增区间[2，＋∞)，
所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
(1)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
(3)解指数方程的方法
①同底法：把方程化为af(x)＝ag(x)的情形，然后得出f(x)＝g(x)．
②化为ax＝b，利用对数定义求解x＝lgab.
③把方程化为f(ax)＝0的情形，然后换元，即设ax＝t，然后解方程f(t)＝0，注意只要t>0的解．
(4)解指数不等式的方法
同底法：把方程化为af(x)>ag(x)的情形，根据函数单调性建立f(x)和g(x)的不等式．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)下列各式比较大小不正确的是( D )
A．1.72.5<1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1<1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
(2)(角度2)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为eq \f(1,2)
(3)(角度3)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是(－3，1)．
(4)(角度3)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是(－∞，4]．
[解析] (1)对于A、B显然正确；对于C，0.8－0.1＝1.250.1，显然正确；对于D，1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，∴D不正确，故选D．
(2)当a<1时，41－a＝21，解得a＝eq \f(1,2)；当a>1时，代入不成立．故a的值为eq \f(1,2).
(3)若a<0，则f(a)<1⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)－7<1⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)<8，解得a>－3，故－3
综合可得－3
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
指数函数中的分类与整合思想
例6 已知函数f(x)＝ax2+2x＋b(a，b是常数且a>0，a≠1)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))上有最大值3和最小值eq \f(5,2)，试求a，b的值．
[分析] 本题易出现的错误有两个，一个是二次函数t＝x2＋2x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))上的范围求错，直接将端点值代入，二是不分类讨论，直接认为f(x)是单调递增函数．
[解析] 设t＝x2＋2x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))，
由图象得t∈[－1，0]．
①当a>1时，f(t)＝at＋b在[－1，0]上为增函数，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋b，1＋b))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋b＝\f(5,2)，,1＋b＝3))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝2.))
②当0
综上所述，a＝2，b＝2或a＝eq \f(2,3)，b＝eq \f(3,2).
名师点拨 MING SHI DIAN BO
分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点：
(1)指数函数的底数不确定时，应分a>1和0
〔变式训练3〕
设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求实数a的值．
[解析] 设ax＝t，则a2x＝t2，
①当a>1时，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))，y＝t2＋2t－1，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上为增函数，
当t＝a时，取得最大值，a2＋2a－1，
所以a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)；
②当0
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(2)＋eq \f(2,a)－1＝14，解得a＝eq \f(1,3)或a＝－eq \f(1,5)(舍)．
综上所述，a＝3或eq \f(1,3).
根式的概念
符号表示
备注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根
n>1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数
eq \r(n,a)
零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数
±eq \r(n,a)
负数没有偶次方根
定义
函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数
底数
a>1
0
性质
函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，恒有y>1；
当x<0时，恒有0
函数在定义域R上为
增函数
函数在定义域R上为
减函数
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