高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1讲函数及其表示学案

这是一份高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1讲函数及其表示学案，共10页。
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理
知识点一 函数的概念及表示
1．函数与映射的概念
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．
(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
知识点二 分段函数及应用
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
重要结论
1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；
(2)映射的两个特征：
第一，在A中取元素的任意性；
第二，在B中对应元素的唯一性；
(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．
2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
双基自测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x)＝eq \f(1,\r(x－4))＋eq \r(3－x)是一个函数．( × )
(2)函数f(x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．( × )
(3)已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)等于m3.( × )
(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．( × )
(5)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋1，－1≤x≤1，,x＋3，x>1或x1或x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
3．(必修1P24T4改编)已知f(x5)＝lg x，则f(2)等于( D )
A．lg 2 B．lg 32
C．lg eq \f(1,32) D．eq \f(1,5)lg 2
[解析] 解法一：由题意知x>0，令t＝x5，则t>0，x＝teq \s\up6(\f(1,5))，
∴f(t)＝lg teq \s\up6(\f(1,5))＝eq \f(1,5)lg t，即f(x)＝eq \f(1,5)lg x(x>0)，
∴f(2)＝eq \f(1,5)lg 2，故选D．
解法二：令x5＝2，则x＝2eq \s\up6(\f(1,5))，∴f(2)＝lg 2eq \s\up6(\f(1,5))＝eq \f(1,5)lg 2.故选D．
4．(必修1P25BT1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；值域是[1，5]；其中只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]．
题组三 走向高考
5．(2018·上海，16，5分)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转eq \f(π,6)后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( B )
A．eq \r(3) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(\r(3),3) D．0
[解析] A选项，若f(1)＝eq \r(3)，将点(1，eq \r(3))依次旋转eq \f(π,6)后可得到函数图象上的一些点，由图可知，当x＝±1、±eq \r(3)、0时，对应了两个y值，不符合函数定义，∴f(1)≠eq \r(3).同理，结合图象分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义，故选B．
6．(2015·陕西，5分)设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x－1)．
(2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋x－2，则f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋5．
(4)已知f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，则f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)．
(5)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝x2＋x＋1．
[解析] (1)令t＝eq \f(2,x)－1，则由x>0知eq \f(2,x)－1>－1，x＝eq \f(2,t＋1)，所以由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－1))＝lg x，得f(t)＝lg eq \f(2,t＋1)(t>－1)，所以f(x)＝lg eq \f(2,x＋1)(x>－1)．
(2)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋x－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－2，
且当x>0时，x＋eq \f(1,x)≥2；当x