高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件学案

这是一份高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件学案，共8页。

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理
知识点一 命题及四种命题之间的关系
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
知识点二 充分条件与必要条件
重要结论
1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．充分条件与必要条件的两个特征：
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．
注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
双基自测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)语句x2－3x＋2＝0是命题．( × )
(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × )
(3)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B．( √ )
(4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × )
(5)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( √ )
[解析] (4)当α＝β＝eq \f(π,2)时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．
题组二 走进教材
2．(选修2－1P8T3改编)下列命题是真命题的是( A )
A．矩形的对角线相等
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若整数a是素数，则a是奇数
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
3．(选修2－1P10T4改编)x2－3x＋2≠0是x≠1的充分不必要条件．
[解析] x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件．
题组三 走向高考
4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 易知a>1⇒a2>a，而a2>a⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．
5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( D )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
[解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D正确．
6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．
[解析] 这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．
考点突破·互动探究
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点一 命题及其关系——自主练透
例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根；
乙：x＝3是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号．
如果只有一个假命题，则该命题是( A )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )
A．否命题 B．逆命题
C．逆否命题 D．否定形式
(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )
A．“若a2B．“全等三角形面积相等”的逆命题
C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题
D．“若eq \r(3)x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题
(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．
[解析] (1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．
(2)命题α：如果x<3，那么x<5，
命题β：如果x≥3，那么x≥5，
则命题α是命题β的否命题．
(3)对于A，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于B，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C正确；对于D，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D正确．故选C、D．
(4)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．
(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
考点二 充分必要条件
考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研
方法1：定义法判断
例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的( C )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，
(ⅰ)若k为奇数，则k＝2n＋1，n∈Z，此时α＝(2n＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；
(ⅱ)若k为偶数，则k＝2n，n∈Z，此时α＝2nπ＋β，n∈Z，sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β.
由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．
(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称，即α＝β＋2mπ或α＋β＝2mπ＋π，m∈Z，
即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C．
方法2：集合法判断
例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“eq \f(x－5,2－x)>0”的( B )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 解绝对值不等式可得－4将分式不等式变形可得eq \f(x－5,x－2)<0，解得2因为(2，5) (－3，5)，
所以“|x－1|<4”是“eq \f(x－5,2－x)>0”的必要而不充分条件．
方法3 等价转化法判断
例4 (1)给定两个条件p，q，若¬ p是q的必要不充分条件，则p是¬q的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)“已知命题p：csα≠eq \f(1,2)，命题q：α≠eq \f(π,3)”，则命题p是命题q的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)因为¬ p是q的必要不充分条件，则q⇒¬ p，但¬pq，其逆否命题为p⇒¬q，但¬qp，所以p是¬q的充分不必要条件．
(2) ¬p：cs α＝eq \f(1,2)，¬q：α＝eq \f(π,3)，显然¬q⇒¬p，¬p¬q，∴¬q是¬p的充分不必要条件，从而p是q的充分不必要条件，故选A．
另解：若cs α≠eq \f(1,2)，则α≠2kπ±eq \f(π,3)(k∈Z)，则α也必然不等于eq \f(π,3)，故p⇒q；若α≠eq \f(π,3)，但α＝－eq \f(π,3)时，依然有cs α＝eq \f(1,2)，故q p.所以p是q的充分不必要条件．故选A．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
有关充要条件的判断常用的方法
(1)根据定义判断：①弄清条件p和结论q分别是什么；②尝试p⇒q，q⇒p.若p⇒q，则p是q的充分条件；若q⇒p，则p是q的必要条件；若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
(2)利用集合判断
(3)利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断¬q是¬p的什么条件．
〔变式训练1〕
(1)指出下列各组中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
①非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；
②已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；
③在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；
④对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．
②条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但qp，故p是q的充分不必要条件．
③在△ABC中，A＝B⇒sin A＝sin B；反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．
④易知¬p：x＋y＝8，¬q：x＝2且y＝6，显然¬q⇒¬p，但¬p¬q，所以¬q是¬p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．
(2)解不等式x2－2x<0得0考向2 充要条件的应用——多维探究
角度1 充要条件的探究
例5 (多选题)下列函数中，满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是( BC )
A．f(x)＝tan x B．f(x)＝3x－3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝lg3|x|
[解析] 因为f(x)＝tan x是奇函数，所以x1＋x2＝0⇒f(x1)＋f(x2)＝0，但feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝0时，eq \f(π,4)＋eq \f(3π,4)≠0，不符合要求，所以A不符合题意；因为f(x)＝3x－3－x和f(x)＝x3均为单调递增的奇函数，所以满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D，由f(x)＝lg3|x|的图象易知不符合题意，故选BC．
注：满足条件的函数是奇函数且单调．
角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围
例6 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是[0，3]．
[解析] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．
[引申1]若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”，则m的取值范围是[0，3]．
[解析] 解法一：由(1)若x∈P是x∈S的必要条件，则0≤m≤3，
当m＝0时，S＝{1}，不充分；当m＝3时，S＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m的取值范围为[0，3]．
解法二：若x∈P是x∈S的必要且充分条件，则P＝S，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m＝－2，,1＋m＝10))⇒m无解，
∴m的取值范围是[0，3]．
[引申2]若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，则m的取值范围是[9，＋∞)．
[解析] 由(1)知P＝{x|－2≤x≤10)，
∵非P是非S的必要不充分条件，
∴S是P的必要不充分条件，∴P⇒S且SP.
∴[－2，10] [1－m，1＋m]．
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m<－2，,1＋m≥10.))
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
(3)注意区别以下两种不同说法：①p是q的充分不必要条件，是指p⇒q但qp；②p的充分不必要条件是q，是指q⇒p但pq.
(4)注意下列条件的等价转化：①p是q的什么条件等价于¬q是¬p的什么条件，②p是¬q的什么条件等价于q是¬ p的什么条件．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A，B是△ABC的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )
A．sin A>sin B B．cs AC．tan A>tan B D．cs2A(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0.如果p是q的充分不必要条件，那么实数k的取值范围是( B )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
[解析] (1)当A>B时，根据“大边对大角”可知，a>b，由于eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin A>sin B，则A是“A>B”的充要条件；由于0B”的充要条件；当A>B时，若A为钝角，B为锐角，则tan A<0B”的充要条件；当cs2Asin2B，所以D是“A>B”的充要条件；故选A、B、D．
(2)由q：(x＋1)(2－x)<0，可知q：x<－1或x>2.因为p是q的充分不必要条件，所以x≥k⇒x<－1或x>2，即[k，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B．
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
抽象命题间充要条件的判定

例7 已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④¬p是¬s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )
A．①④⑤ B．①②④
C．②③⑤ D．②④⑤
[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．
[解析] 由题意得p，显然q⇒r且r⇒s⇒q，即q⇔r，①正确；p⇒r⇒s⇒q且qp，②正确；r⇔q，③错误；由p⇒s知¬ s⇒¬ p，但sp，∴¬ p¬ s，④正确；r⇔s，⑤错误．故选B．
名师点拨 MING SHI DIAN BO
命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．
〔变式训练3〕
若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则p是q的必要不充分条件．
[解析] 由题意可知q⇒rp，∴p是q的必要不充分条件．
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
pq且qp
记法
A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
关系
AB
BA
A＝B
AB且BA
结论
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件