2021学年2.2 基本不等式教课课件ppt

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我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，他们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.
前面，我们利用完全平方公式得到了一类重要不等式，　　　，　　　　　．当且仅当　　时，等号成立. 请同学们观察这个不等式，它的左边是两个数的平方的和，右边是这两个数的乘积的2倍．
问题1 特别地，如果 ,我们用 分别代替上式中的 可以得到怎样的式子？　
问题1 特别地，如果 ,我们用 分别代替上式中的 可以得到怎样的式子？　　解： ,　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
问题1 特别地，如果 ,我们用 分别代替上式中的 可以得到怎样的式子？　　解： , ,　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
问题1 特别地，如果 ,我们用 分别代替上式中的 可以得到怎样的式子？　　解： , , .　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
结论：　　　　　　　　　　 　 ．当且仅当 时，等号成立.通常称它为基本不等式. 其中， 叫做正数 的 算术平均数， 叫做正数　　的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．　　
问题2　　　　　　　　　　　　．　　能否直接利用不等式的性质证明出基本不等式呢？ 当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式 .
分 析 法　　　分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止. 
要证 ， ① 只要证 . ②
要证 ， ① 只要证 . ② 要证②，只要证 . ③
要证 ， ① 只要证 . ② 要证②，只要证 . ③ 要证③，只要证 . ④
要证 ， ① 只要证 . ② 要证②，只要证 . ③ 要证③，只要证 . ④ 要证④，只要证 . ⑤
要证 ， ① 只要证 . ② 要证②，只要证 . ③ 要证③，只要证 . ④ 要证④，只要证 . ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当 时，⑤中的等号成立．
要证 ， ① 只要证 . ② 要证②，只要证 . ③ 要证③，只要证 . ④ 要证④，只要证 . ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当 时，⑤中的等号成立．只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.
请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么呢？　　　　　　　　
分析法的证明格式 由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证…”“只要证…”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然…成立。
同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想到从几何角度基本不等式也有背景对应呢？ 下面我们一起来探究一下.
问题3　　在图2.2-1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．你能在这个图中找到　　和　　分别是哪条线段的长吗？你能从这里得出基本不等式的几何解释吗？ 　
问题3 　解：由图可知，圆的半径长为　　；那么哪条线段的长为　　呢？　
问题3 　解：如图2.2-1，可证 即可得 ,因而 .
问题3 　解：如图2.2-1，可证 即可得 ,因而 .由于 小于或等于圆的半 径，用不等式表示为 ．
问题3 解：如图2.2-1，可证 即可得 ,因而 .由于 小于或等于圆的半 径，用不等式表示为　　 . 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当 时，上述不等式的等号成立.
例1 已知　　　，求　　　　的最小值． 　　　　　　
例1 已知　　　，求　　　　的最小值． 分析：观察 ,发现 　　　　　　
例1 已知　　　 ，求　　　的值． 　　　　　 分析：观察 ,发现 联系基本不等式，可以利用正数 的算术平均数与几何平均数的关系得到　　　的最小值是２.　　　　　　　
例1 已知　　　　　　　　　　． 　　解：因为 所以 　　　　 . 当且仅当　 ,即 ， 也就是 时 ，等号成立.因此所求最小值为2.
　　想一想，　　当 时 ，　　　成立吗？这时能说 是 的最小值吗？
例1 已知 ，求　　　的最小值． 　 分析：求 的最小值，就是要求一个 使 都有 当 时，找不到能取到这个 所对应的正数 .因此所求 最小值为2.当且仅当 ， 取到最小值2.
　　例2 已知x，y都是正数，求证：　（１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 ；　（２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .
　　例2 已知x,y都是正数，求证：　（１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 ；　　证明：因为x,y都是正数，所以　　　　 　．
　　例2 已知x,y都是正数，求证：　（１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 ；　　证明：因为x,y都是正数，所以　　　　　．所以 ， 当且仅当x=y时，上式等号成立．
　　例2 已知x,y都是正数，求证：　（１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 ；　　证明：因为x,y都是正数，所以 　　　　　．所以 ， 当且仅当x=y时，上式等号成立． 于是，当x=y时，和x+y有最小值 ；
　　例2 已知x,y都是正数，求证：　 （２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .　　证明：当和x+y等于定值S时， 　，所以　　　　．
　　例2 已知x,y都是正数，求证：　 （２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .　　证明：当和x+y等于定值S时， 　 ，所以 ，即 ，当且仅当x=y时，上式等号成立．
　　例2 已知x,y都是正数，求证：　 （２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .　　证明：当和x+y等于定值S时， 　，所以　　　　．当且仅当x=y时，上式等号成立．于是，当x=y时，积xy有最大值 .
1．基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，即对于 ,都有 当且仅当 时等号成立．2．用分析法利用不等式的性质证明基本不等式；并且在圆中利用已知线段的大小关系记住基本不等式的几何特征．3．利用基本不等式求代数式的最值时，首先明确代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一个定值，不等式中的等号是否能取到，通俗的说就是“一正、二定、三相等”．