2021-2022学年北京市大兴区亦庄实验中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年北京市大兴区亦庄实验中学高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知随机变量服从正态分布，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 设偶函数在区间上单调递增，则(    )

A.  B.
C.  D.

5. 变量，具有较强的线性相关性，且，的数据如表所示，若变量，的回归直线方程是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若非零实数，满足，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某校高三年级要从名男生和名女生中任选名代表参加数学竞赛每人被选中机会均等，则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一个人被选中的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 在中，，，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 抛物线：的焦点为，其准线与轴的交点为，为准线上一点，线段与抛物线交于点，若是斜边长为的等腰直角三角形，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、解答题（本大题共11小题，共110.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11. 本小题分
    若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______．
12. 本小题分
    离散型随机变量的分布列为：

且，则______；______．

13. 本小题分
    若将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于轴对称，则常数的一个取值为______．
14. 本小题分
    已知函数且的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为______．
15. 本小题分
    给定集合，且，，定义点集，，若对任意点，存在，使得为坐标原点则称集合具有性质，给出一下四个结论：
    具有性质；
    具有性质；
    若集合具有性质，则中一定存在两数，，使得；
    若集合具有性质是中任一数，则在中一定存在，使得．
    其中正确结论有______填上你认为所有正确结论的序号
16. 本小题分
    假设某种人寿保险规定：若投保人没活过岁，则保险公司要赔偿万元；若投保人活过岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付万元．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过岁的概率都为，随机抽取其中的个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司支出给这人的总金额为万元．参考数据：
    求的分布列，并写出与的关系；
    求．
17. 本小题分
    已知全集，集合，．
    求；
    若集合，且，求实数的取值范围．
18. 本小题分
    如图，在正方体中，点在棱上，且，点是棱上的一个动点．
    点在什么位置时，平面，并说明理由；
    若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．

19. 本小题分
    已知函数．
    判断函数的奇偶性，并进行证明；
    若实数满足，求实数的取值范围．
20. 本小题分
    某科技企业年招聘员工，其中、、、、五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例精确到如下：

从表中所有应聘人员中随机选择人，试估计此人被录用的概率；
从应聘岗位的人中随机选择人．记为这人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；
表中、、、、各岗位的男性、女性录用比例都接近二者之差的绝对值不大于，但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．只需写出结论

21. 本小题分
    已知椭圆，直线经过椭圆的左焦点与其交于点，．
    Ⅰ求椭圆的方程和离心率；
    Ⅱ已知点，，直线，与直线分别交于点，若，求直线的方程．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：全集，集合，
或，又，
．
故选：．
由已知直接利用交、并、补集的混合运算得答案．
本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
结合二项分布的方差公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的方差公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为随机变量服从正态分布，，
则．
故选：．
根据正态分布的定义，结合对称性即可求解．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为偶函数在区间上单调递增，
所以在上单调递减，
因为，，且，
所以，即．
故选：．
由已知判断在上单调递减，由偶函数的性质可得，，再结合函数的单调性即可判断函数值的大小．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查函数值大小的比较，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，解得．
故选：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：非零实数，满足，
A.取，，则，故A不正确；
B.，由基本不等式知，故B不正确；
C.非零实数，满足，，，即，故C正确；
D.取，，则，故D不正确．
故选：．
根据不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可．
本题考查了不等式的基本性质和基本不等式的应用，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：某校高三年级要从名男主和名女生中任选名代表参加数学竞赛每人被选中的机会均等，在男生甲被选中的情况下，基本事件总数，
在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率：．
故选：．
基本事件总数，由此利用对立事件概率计算公式能求出在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．
本题主要考查古典概型的问题，熟记对立事件的概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，解得，
，
，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合不等式和绝对值的解法，即可求解．
本题主要考查不等式和绝对值的解法，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两角和的正弦公式以及三角函数求值问题，考查求三角形的面积问题，是基础题．
求出，再求出，求出，从而求出三角形的面积．

【解答】

解：，，
，
解得：，故C，
，又，，
，
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：是斜边长为的等腰直角三角形，
，过作垂直准线于点，则，
，即，
，
即，
故选：．
利用拋物线的定可义可得，结合条件可得，即可求解．
本题考查了抛物线的定义和性质的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：若命题“，”是真命题，
则，解得，
即实数的取值范围是
故答案为：
直接利用函数的恒成立问题的应用和二次函数的性质的应用求出参数的取值范围．
本题考查全称命题，涉及不等式恒成立问题及二次函数的性质，属于基础题．
 

12.【答案】  

【解析】解：由分布列的性质可得， ，
，
联立，解得，．
故答案为：；．
根据已知条件，结合查离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式的应用，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式的应用，属于基础题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
将图象向左平移个单位得到的函数为偶函数，
，，
，，又，
常数的一个取值为，
故答案为：答案不唯一．
先根据三角函数的辅助角公式化简，再通过平移变换得新函数，再由新函数为偶建立方程即可求解．
本题考查三角函数的辅助角公式，函数的图象变换，函数的奇偶性，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：时，，
函数的图象恒过定点，即，
点在直线上，
，
有最大值，
，
由基本不等式可得，，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
根据对数函数的性质先求出的坐标，代入直线方程可得、的关系，再利用基本不等式求解即可．
本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，是高考考查的重点内容．
 

15.【答案】 

【解析】解：集合具有性质，若 ，则 ；若 ，则 ，均满足，所以具有性质，故正确；
对于，当 ，若存在 满足，即，即，集合中不存在这样的数，，因此不具有性质，故不正确；
取 ，又集合具有性质，所以存在点 使得，即，又，所以，故正确；
取，易知集合具有性质，显然不满足是中任一数，则在中一定存在，使得，故不正确．
故答案为：．
根据集合具有性质，逐一判断即可．
本题属于新概念题，考查了学生的推理能力、理解能力，理解定义是关键，属于中档题．
 

16.【答案】解：由题意可得，，
所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
，
故的分布列为：

随机抽取其中的个投保人，
设其中活过岁的人数为，
则没活过岁的人数为，
则，
故．
，
，解得，
． 

【解析】由题意可得，，所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，即可求解的分布列，再结合，即可求解．
由可得，，再结合对立事件概率和为，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查计算能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：由，得或，
或，
由，得，
，
则或；
若，则，
，，
当，即时，，满足；
当时，有，解得．
综上所述，实数的取值范围是，． 

【解析】分别求解一元二次不等式与分式不等式化简与，再由交集运算得答案；
由，得，然后分和求解的范围，取并集得答案．
本题考查交集及其运算，考查集合间关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：点位于的三等分点靠近点时，平面，理由如下：
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为，
则，，，，
，，
设，
设平面的法向量为，
则，令得：，，
所以，
因为，
令，
解得：，
所以当点位于的三等分点靠近点时，平面；
设点，直线与平面所成角为，
设平面的法向量为，，
则，令得：，
则，
所以，
解得：，
则，
所以，
设二面角的大小为，显然为钝角，
则． 

【解析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设出点的坐标，根据垂直关系得到方程，求出的坐标，从而得到点的位置；
根据线面角求出点的坐标，从而利用法向量求解出二面角的余弦值．
本题考查了线面平行的证明以及空间角的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，
且，
为奇函数．
，
由于为增函数且，为减函数，为上的增函数；
；
；
；
，
实数的取值范围是 

【解析】利用奇函数的定义证明即可；
利用对数的性质化简，利用函数的单调性脱去，即可得解．
本题考查了函数的奇偶性，单调性，及利用单调性解不等式，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为表中所有应聘人员总数为，被该企业录用的人数为，
所以从表中所有应聘人员中随机选择人，此人被录用的概率约为；
可能的取值为，，，
因为应聘岗位的人中，被录用的有人，未被录用的有人，
所以，，，
所以的分布列为：

；
分析图表可得，岗位中男女录取比例，但男性应聘人数明显更多，因此影响了总录取率，除去岗位则男性应聘人数为，录取人数为，录取率约为；
女性应聘人数为，录取人数为，录取率约为，二者之差的绝对值不大于．
故只考虑其中，，，四种岗位，男性、女性的总录用比例也接近． 

【解析】根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；
根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；
分析发现岗位中男性较多拉高了整体录用率，再去掉岗位后，计算剩余个岗位的男女总录用比例得出结论．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ由题设，得，
又，所以，
所以椭圆的方程为，
所以椭圆的离心率为．
Ⅱ由题意，设，，
当直线斜率不存在时，方程为，
代入椭圆的方程，解得，，
直线的方程为：，即，
将代入，解得，
所以，
因为点，关于轴对称，且位于轴上，
所以点，关于轴对称，
所以，
所以，不合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
则，，
直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，
同理可得点的纵坐标为，
所以

，
解得或，
所以直线的方程为或． 

【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力．
Ⅰ由题设，得，又，解得，即可得出答案．
Ⅱ由题意，设，，分两种情况：当直线斜率不存在时，当直线的斜率存在时，写出直线的方程，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，再计算，解得，即可得出答案．