2021-2022学年云南省曲靖二中高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年云南省曲靖二中高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知向量，满足，，夹角为，若，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 函数的图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知的展开式中常数项为，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 我市某三甲医院为了响应防疫政策，需要从名内科医师和名外科医生中派选名医生到高速路口进行核酸检测工作，则派选内科医生人数不少于外科医生的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知抛物线：，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是，双曲线：的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列说法正确的是(    )

A. 若随机变量的概率分布列为，则
B. 若随机变量，，则
C. 若随机变量，则
D. 在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则

10. 已知数列的前项和为，且，则下列选项中正确是(    )

A.
B.
C. 数列是等比数列
D. 数列的前项和为

11. 设函数，若在上有且仅有条对称轴，则(    )

A. 在上有且仅有个最大值点
B. 在上有且仅有个零点
C. 的取值范围是
D. 在上单调递增

12. 在四棱锥中，底面是正方形，平面，点是棱的中点，，则(    )

A.
B. 直线与平面所成角的正弦值是
C. 异面直线与所成的角是
D. 四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若复数，为虚数单位，则           ．
14. 已知函数，则不等式的解集为______．
15. 设，，，若，且，则的最大值为______．
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于点若，则双曲线的渐近线方程为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 为了研究某种疾病的治愈率，某医院对名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：
    
    根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表：

依据小概率值的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．
附：如需计算，结果精确到
独立性检验中常用小概率值和相应的临界值

18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，．
    求和的值；
    求的值．
19. 已知等差数列的前项和为，，且．
    求数列的通项公式；
    设数列的前项和为，证明：．
20. 如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，平面，，、分别是、的中点．
    Ⅰ求证：；
    Ⅱ若，求二面角的余弦值．

21. 已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，，且过点的直线与椭圆相交于不同的两点，不与点，重合．
    Ⅰ求椭圆的方程；
    Ⅱ若直线与直线相交于点，求证：，，三点共线．
22. 已知函数，．
    Ⅰ当时，求函数在点处的切线；
    Ⅱ若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
    Ⅲ求证：时，．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
求解不等式化简，求解函数的定义域化简，再由交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，考查函数的定义域及不等式的解法，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
由，
故“”是“”的不充分条件，
故“”是“”的必要条件，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
化简不等式，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，夹角为，
，
，
，即，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，以及向量垂直的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，，必有，解可得，即函数的定义域为，排除，
又由，则函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除，
故选：．
根据题意，先分析函数的定义域可以排除，再分析函数的奇偶性排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与定义域的分析，一般用间接法分析，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：展开式的常数项为，
解得，
故选：．
根据二项式定理求出展开式的常数项，结合已知得答案．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，从人中选出人，有种选法，
其中名内科医师的选法有种，
名内科医师和名外科医生种，
名内科医师和名外科医生种，
则内科医生人数不少于外科医生的选法有种，
故内科医生人数不少于外科医生的概率；
故选：．
根据题意，由组合数公式计算“从人中选出人”的选法，由分类计数原理计算“内科医生人数不少于外科医生”的选法，由古典概型公式计算可得答案．
本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，则，，
因为，
所以，
所以，又，
所以．
故选：．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数与对数的互化、指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，设直线方程为，
代入，整理可得，
直线被抛物线截得的线段长是，
，
，．
抛物线的准线为，
双曲线：的一个焦点在抛物线的准线上，
，
直线与轴的交点到渐近线的距离，
故选：．
利用弦长，求出抛物线中的，可得双曲线中的，再利用点到直线的距离公式，即可得出结论．
本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，随机变量的概率分布列为，
，解得，故A错误，
对于，随机变量，，
，
，故B正确，
对于，随机变量，
，故C错误，
对于，在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，
则，故D正确．
故选：．
对于，结合分布列的性质，即可求解，
对于，结合正态分布的对称性，即可求解，
对于，结合二项分布的方差公式，即可求解，
对于，结合超几何分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查分布列的性质，正态分布的对称性，二项分布的方差公式，超几何分布的概率公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查由前项和求通项，等比数列定义、通项公式、前项和公式，属于基础题．
将转化为递推关系式，再由递推关系求通项，再根据通项求和，最后判断选项．

【解答】

解：，，
两式对减得：，，
，，
又，，A正确；
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，，C正确，
又，B错误，
，数列也为等比数列，
数列的前项和为：，D正确，
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：，，
，，
令，，
画出图象进行分析：

对于选项：由图象可知：在上有且仅有，对应的这个最大值点，故A选项正确；
对于选项：当，即时，在有且仅有个零点；
当，即时，在有且仅有个零点，故B选项不正确；
对于选项：在有且仅有条对称轴，
，，
的取值范围是，故C选项正确；
对于选项：，，，，
由选项可知，，，
即在上单调递增，故D选项正确．
故选：．
由换元法结合正弦函数的图象以及性质逐一判断即可．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
对于，因为是在平面内射影，，所以，所以对；
对于，取中点，连接，
因为平面，平面，所以，
又因为，，所以平面，
所以平面的法向量，
，，，
直线与平面所成角的正弦值是，所以对；
对于，因为，所以异面直线与所成的角的大小为，
，所以，所以错；
对于，四棱锥的体积，外接球的中心为中点，
球半径为，其体积，，所以错．
故选：．
用射影定理证明；用向量数量积求直线与平面成角正弦值；用平移直线法求异面直线成角判断；求体积比值判断．
本题考查了直线与平面成角问题，考查了异面直线成角问题，考查了四棱锥与球体的体积计算问题，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数模的求法，考查数学转化思想，是基础题．
直接由商的模等于模的商求解．

【解答】

解：，
．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，
当时，为增函数，
因为，则，
所以，，所以，，所以，，
因为，故恒成立，
由可得，解得．
因此，原不等式的解集为．
故答案为：．
分析出函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可．
本题考查函数的单调性的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
又，，，得，，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以的最大值为．
故答案为：．
由可得，从而，进一步可求出的取值范围，最后结合进行求解即可．
本题考查基本不等式的运用，解题的关键在于准确消元求最值，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，得，
，，由双曲线的定义知，，
因为直线的斜率为，所以，可得，
，解得，可得，
双曲线的渐近线方程为
故答案为：
由已知可得，由过且斜率为作直线，可得，进而由余弦定理可得，可求双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的几何性质，以及向量的数量积的运算，属中档题．
 

17.【答案】解：由题意可得，列联表如下：

零假设为：是否治愈与治疗方法无关联．
由列联表中的数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们能推断不成立，
即认为是否治愈与治疗方法有关联，此推断犯错误的概率不大于． 

【解析】本题考查列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求出的值，考查逻辑推理能力与化简运算能力，是中档题．
由题中的数据信息，完成列联表即可；
由列联表中的数据，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案．
 

18.【答案】解：在三角形中，由，可得，
的面积为，可得：，
可得，又，解得，，
由，可得，
由，解得；

． 

【解析】通过三角形的面积以及已知条件求出，，利用正弦定理求解的值；
利用两角和的余弦函数化简，然后直接求解即可．
本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：等差数列的公差为，
由题设可得：，
即，
解得：，
；
证明：由可得：，
，

． 

【解析】本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题．
设等差数列的公差为，由题设求得与首项，即可求得其通项公式；
先由求得，进而求得，再利用裂项相消法求得其前项和，即可证明结论．
 

20.【答案】Ⅰ证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
为的中点，．
又，因此．
平面，平面，．
而平面，平面，且，
平面，
又平面，；
Ⅱ解：由Ⅰ知、、两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，
设平面的法向量为，
则，因此，取，则，
，，，平面，
故为平面的法向量．
又，
，．
二面角为锐角，
所求二面角的余弦值为． 

【解析】Ⅰ由四边形为菱形，，可得为正三角形，由为的中点，得进一步得到再由已知得由线面垂直的判定可得平面，从而得到；
Ⅱ由Ⅰ知、、两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明平面，可知为平面的法向量．由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．
 

21.【答案】Ⅰ解：根据题意，解得，，．
所以椭圆的方程为：．
Ⅱ证明：由Ⅰ知，，．
根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为．
由得．
根据题意，恒成立，设，
则．
直线的方程为，
令，得，所以．
因为，，
则直线，的斜率分别为，
．



．
所以，
所以，，三点共线． 

【解析】Ⅰ由题意得到关于，，方程组，求解方程组即可确定椭圆方程．
Ⅱ联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理即可证得三点共线．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：当时，的导数为，
即有在点处的切线斜率为，
则在点处的切线方程为；
令，
，
则，
令，则，
当时，，
所以，函数在上是增函数，
所以，所以，
当时，，所以函数在上是增函数，
所以，即对任意，不等式恒成立．
当时，，由，得，
，
当时，，即，
所以函数在上是减函数，
所以，即，不合题意．
综上，所以实数的取值范围是；
证明：当时，，要证，
只需证，即证，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，
由可知，只需证，
令，则，
所以在上单调递增，
所以对于任意，，即，
故原不等式成立． 

【解析】当时，对函数求导，求出斜率，再求切线方程即可；
求得，
构造函数，再求函数的最值，即可证明．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查学生的运算能力，属于难题．